Taylor: quando fermarsi?
Scusate ma Taylor io non lo capisco proprio: ogni volta che devo fare qualche limite ottengo risultati diversi!
Se per esempio dovessi calcolare \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{2ln(cos(x))+sen^2(x)}{x^4} \), a seconda del grado di approssimazione ottengo due risultati diversi.
Approssimando tutto al 2° grado ottengo:
\(\displaystyle 2ln(cos(x)) = 2ln(1-\frac{x^2}2) = 2(-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8) = -x^2 - \frac{x^4}4 \)
\(\displaystyle sen^2(x) = (x-\frac{x^3}6)^2 = x^2+\frac{x^6}{36} -\frac{x^4}3 \)
e sommando ottengo che lo sviluppo del numeratore è \(\displaystyle N = \frac{x^6}{36} - \frac{7x^4}{12} \)
Così il limite diventa \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{\frac{x^6}{36} - \frac{7x^4}{12}}{x^4} = -\frac{7}{12} \)
Ma adesso, se approssimo tutto al 3° grado ottengo:
\(\displaystyle 2ln(cos(x)) = 2ln(1- \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}) = 2((- \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24})- \frac{1}2(\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24})^2) = -x^2 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^6}{24}- \frac{x^8}{576} \)
\(\displaystyle sen^2(x) = (x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120})^2 = x^2 -\frac{x^4}{3} +\frac{2x^6}{45} \) (escludo le potenze maggiori che sono influenti)
Lo sviluppo del numeratore quindi viene \(\displaystyle N = -\frac{x^4}{2} \) (anche qui ho escluso le potenze maggiori perchè sono influenti e perchè ci vuole troppo per scriverle XD)
e dunque il limite (CORRETTO) diventa \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{-\frac{x^4}{2}}{x^4} = -\frac{1}{2} \)
In sostanza la mia domanda è: dov'è che sbaglio? com'è possibile che ottengo risultati diversi? come scelgo il grado di approssimazione di Taylor corretto??
Se per esempio dovessi calcolare \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{2ln(cos(x))+sen^2(x)}{x^4} \), a seconda del grado di approssimazione ottengo due risultati diversi.
Approssimando tutto al 2° grado ottengo:
\(\displaystyle 2ln(cos(x)) = 2ln(1-\frac{x^2}2) = 2(-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8) = -x^2 - \frac{x^4}4 \)
\(\displaystyle sen^2(x) = (x-\frac{x^3}6)^2 = x^2+\frac{x^6}{36} -\frac{x^4}3 \)
e sommando ottengo che lo sviluppo del numeratore è \(\displaystyle N = \frac{x^6}{36} - \frac{7x^4}{12} \)
Così il limite diventa \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{\frac{x^6}{36} - \frac{7x^4}{12}}{x^4} = -\frac{7}{12} \)
Ma adesso, se approssimo tutto al 3° grado ottengo:
\(\displaystyle 2ln(cos(x)) = 2ln(1- \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}) = 2((- \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24})- \frac{1}2(\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24})^2) = -x^2 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^6}{24}- \frac{x^8}{576} \)
\(\displaystyle sen^2(x) = (x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120})^2 = x^2 -\frac{x^4}{3} +\frac{2x^6}{45} \) (escludo le potenze maggiori che sono influenti)
Lo sviluppo del numeratore quindi viene \(\displaystyle N = -\frac{x^4}{2} \) (anche qui ho escluso le potenze maggiori perchè sono influenti e perchè ci vuole troppo per scriverle XD)
e dunque il limite (CORRETTO) diventa \(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0}}}\frac{-\frac{x^4}{2}}{x^4} = -\frac{1}{2} \)
In sostanza la mia domanda è: dov'è che sbaglio? com'è possibile che ottengo risultati diversi? come scelgo il grado di approssimazione di Taylor corretto??
Risposte
Non c'è un metodo preciso, ma ti aiuta l'esperienza e un po' di intuito. Ad esempio, in questo caso vedi che a denominatore hai un infinitesimo di ordine $4$: questo suggerisce di sviluppare il numeratore almeno fino allo stesso ordine (se non qualcosa in più) in quanto è molto probabile che così facendo tu possa "semplificare" gli infinitesimi minori di $4$ e ottenere un risultato finito come limite.
In generale, quando vai ad applicare Taylor, conviene sempre capire quale, tra numeratore e denominatore, è la funzione più "facile" da sviluppare: una volta sviluppata questa (cercando di mettere un numero adeguato di termini che, di nuovo, è una questione di esperienza) per sviluppare l'altra si procede cercando di eguagliare l'ordine di sviluppo di quella più semplice.
L'errore nel precedente è che, sviluppando con meno termini, perdi contributi per gli ordini di infinitesimi giusti: osserva che nel secondo caso hai imposto di sviluppare il coseno fino al quarto ordine, e la cosa si ricollega a quanto ti dicevo prima. Allo stesso modo, sviluppare il seno fino al quinto ordine ti assicura di non perdere termini fino al quarto.
In generale, quando vai ad applicare Taylor, conviene sempre capire quale, tra numeratore e denominatore, è la funzione più "facile" da sviluppare: una volta sviluppata questa (cercando di mettere un numero adeguato di termini che, di nuovo, è una questione di esperienza) per sviluppare l'altra si procede cercando di eguagliare l'ordine di sviluppo di quella più semplice.
L'errore nel precedente è che, sviluppando con meno termini, perdi contributi per gli ordini di infinitesimi giusti: osserva che nel secondo caso hai imposto di sviluppare il coseno fino al quarto ordine, e la cosa si ricollega a quanto ti dicevo prima. Allo stesso modo, sviluppare il seno fino al quinto ordine ti assicura di non perdere termini fino al quarto.
In generale lo sviuppo di taylor di una f(x) nell'intorno di un punto $x_{0}$ ha la forma...
$f(x)= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} (x-x_{0})^{k} + R_{n} $ (1)
... dove $R_{n}$ e' il cosidetto 'resto di ordine n'. Se la (1) converge deve essere $\lim_{n \rightarrow \infty} R_{n}=0$. Una delle possibili espressioni di $R_{n}$ e' dovuta a Cauchy ed e'...
$R_{n}= \frac{(x-x^{*})^{n}}{n!}\ (x-x_{0})\ f^{(n+1)} (x^{*})$ (2)
... dove $x^{*} \in [x_{0}, x]$. La (2) puo' fornire una maggiorazione dell'errore che si commette arrestando la serie al termine di grado n...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$f(x)= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} (x-x_{0})^{k} + R_{n} $ (1)
... dove $R_{n}$ e' il cosidetto 'resto di ordine n'. Se la (1) converge deve essere $\lim_{n \rightarrow \infty} R_{n}=0$. Una delle possibili espressioni di $R_{n}$ e' dovuta a Cauchy ed e'...
$R_{n}= \frac{(x-x^{*})^{n}}{n!}\ (x-x_{0})\ f^{(n+1)} (x^{*})$ (2)
... dove $x^{*} \in [x_{0}, x]$. La (2) puo' fornire una maggiorazione dell'errore che si commette arrestando la serie al termine di grado n...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Provando con il tuo limite:
$lim_(x->0)(2ln(cos(x))+sin^2(x))/(x^4)$
$ln(cos(x))$ è infinitesimo per $x->0$, quindi si può procedere con la serie di McLaurin. Poiché al denominatore abbiamo una variabile infinitesima di ordine 4, la nostra serie si fermerà non prima della derivata quarta:
$ln(cos(x))=-x^2/2-x^4/12+x^4omega(x)$
Stessa cosa per $sin^2(x)$:
$sin^2(x)=x^2-x^4/3+x^4omega(x)$
La notazione $x^4omega(x)$, che corrisponde al resto secondo Peano, indica un infinitesimo di ordine superiore.
A questo punto, il limite diventa (trascurando gli infinitesimi superiori):
$lim_(x->0)(2ln(cos(x))+sin^2(x))/(x^4)=((-x^2-x^4/6)+(x^2-x^4/3))/(x^4)=(-1/2x^4)/x^4=-1/2$
$lim_(x->0)(2ln(cos(x))+sin^2(x))/(x^4)$
$ln(cos(x))$ è infinitesimo per $x->0$, quindi si può procedere con la serie di McLaurin. Poiché al denominatore abbiamo una variabile infinitesima di ordine 4, la nostra serie si fermerà non prima della derivata quarta:
$ln(cos(x))=-x^2/2-x^4/12+x^4omega(x)$
Stessa cosa per $sin^2(x)$:
$sin^2(x)=x^2-x^4/3+x^4omega(x)$
La notazione $x^4omega(x)$, che corrisponde al resto secondo Peano, indica un infinitesimo di ordine superiore.
A questo punto, il limite diventa (trascurando gli infinitesimi superiori):
$lim_(x->0)(2ln(cos(x))+sin^2(x))/(x^4)=((-x^2-x^4/6)+(x^2-x^4/3))/(x^4)=(-1/2x^4)/x^4=-1/2$
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