TAYLOR PROBLEMINI VELOCI.... (Ma non per me!) :-(
L'altra volta si era risolto questo:
Approssimare $cos(pi/10)$ con i primi 6 polinomi di Taylor.
(Era qui...)
E' richiesta la seguente serie?
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
O questa?
$cosx=sum_(n=0)^(6) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
----------------------------------------------------------------------------------
Risolto questo dubbietto, ho alcuni problemini che, a prima, vista sembrano facili... Ma non per me.
Ho provato a risolverli ma non ho la soluzione e manco la sicurezza di averli fatti giusti.
Problema 1-------------------------------------------------------------------
Calcolare $e^(-1/2)$ con un errore minore di $10^(-3)$
SOLUZ:
Sostituisco in questa:
$sum_(n=0)^(oo) (x^n)/(n!)$
$x=-1/2$ quindi ho:
$sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)$$= 1 -1/2 + ((-1/2)^2)/2 + ....$
Vincolo: $|E|<= 0,001$ quindi: $|E|=|sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)|<= 0,001$
Provo con n=0, n=1, ... finché non rispetto il vincolo:
Con $n=5$ Ok, perché ho:
$|E| = |((-1/2)^5)/(5!)| = 0,00026 <= 10^(-3)$
Problema 2-------------------------------------------------------------------
Usare la formula di Taylor per approssimare $cos(pi/12)$ ed avere una stima dell'errore.
Considerare il caso in cui bisogna approssimarla con i primi 4 polinomi di Taylor:
SOLUZ:
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
$|E|<= |(-1)^(n+1) (x^(2(n+1)))/((2(n+1))!)|$ e, in $x_0$, diventa: $|E|<= |(-1)^(n+1) ((pi/12)^(2n+2))/((2n+2)!)|$
Se si dovesse approssimarla con i primi 4 polinomi di Taylor:
$sum_(n=0)^(4) (-1)^(n) (x^(2n))/((2n)!)$
Problema 3-------------------------------------------------------------------
Stimare mediante la formula di Taylor, l'errore E che si ottiene
(ossia, trovare una quantità che è sicuramente > dell'errore, in modulo)
compiendo l'approssimazione: $sin(1/80)=1/80$
SOLUZ:
$sum_(n=0)^(oo) (-1)^(n) ((x)^(2n+1))/((2n+1)!) = x - (x^3)/3! + ....$
$1/80 + g$ dove g è il termine trascurato.
Quindi: $|E|<|-(x^3)/3|$ cioé $(1/((80^3)3!) > |E|$
Ma $x=(1/80)$ perché? Perché é il valore interno al $sin$?
Problema 4-------------------------------------------------------------------
Mostrare come si può approssimare $(1)/(1,1)$ con un opportuno sviluppo di Taylor.
non so da dove iniziare
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Aiuto, è importante per me!
Grazie!
Approssimare $cos(pi/10)$ con i primi 6 polinomi di Taylor.
(Era qui...)
E' richiesta la seguente serie?
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
O questa?
$cosx=sum_(n=0)^(6) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
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Risolto questo dubbietto, ho alcuni problemini che, a prima, vista sembrano facili... Ma non per me.
Ho provato a risolverli ma non ho la soluzione e manco la sicurezza di averli fatti giusti.
Problema 1-------------------------------------------------------------------
Calcolare $e^(-1/2)$ con un errore minore di $10^(-3)$
SOLUZ:Sostituisco in questa:
$sum_(n=0)^(oo) (x^n)/(n!)$
$x=-1/2$ quindi ho:
$sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)$$= 1 -1/2 + ((-1/2)^2)/2 + ....$
Vincolo: $|E|<= 0,001$ quindi: $|E|=|sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)|<= 0,001$
Provo con n=0, n=1, ... finché non rispetto il vincolo:
Con $n=5$ Ok, perché ho:
$|E| = |((-1/2)^5)/(5!)| = 0,00026 <= 10^(-3)$
Problema 2-------------------------------------------------------------------
Usare la formula di Taylor per approssimare $cos(pi/12)$ ed avere una stima dell'errore.
Considerare il caso in cui bisogna approssimarla con i primi 4 polinomi di Taylor:
SOLUZ:$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
$|E|<= |(-1)^(n+1) (x^(2(n+1)))/((2(n+1))!)|$ e, in $x_0$, diventa: $|E|<= |(-1)^(n+1) ((pi/12)^(2n+2))/((2n+2)!)|$
Se si dovesse approssimarla con i primi 4 polinomi di Taylor:
$sum_(n=0)^(4) (-1)^(n) (x^(2n))/((2n)!)$
Problema 3-------------------------------------------------------------------
Stimare mediante la formula di Taylor, l'errore E che si ottiene
(ossia, trovare una quantità che è sicuramente > dell'errore, in modulo)
compiendo l'approssimazione: $sin(1/80)=1/80$
SOLUZ:$sum_(n=0)^(oo) (-1)^(n) ((x)^(2n+1))/((2n+1)!) = x - (x^3)/3! + ....$
$1/80 + g$ dove g è il termine trascurato.
Quindi: $|E|<|-(x^3)/3|$ cioé $(1/((80^3)3!) > |E|$
Ma $x=(1/80)$ perché? Perché é il valore interno al $sin$?
Problema 4-------------------------------------------------------------------
Mostrare come si può approssimare $(1)/(1,1)$ con un opportuno sviluppo di Taylor.
non so da dove iniziare ------------------------------------------------------------------------------------------------
Aiuto, è importante per me!
Grazie!
Risposte
"Giova411":
L'altra volta si era risolto questo:
Approssimare $cos(pi/10)$ con i primi 6 polinomi di Taylor.
(Era qui...)
E' richiesta la seguente serie?
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
O questa?
$cosx=sum_(n=0)^(6) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
Il polinomio $T_6$ è dato dalla seconda
Problema 1-------------------------------------------------------------------
Calcolare $e^(-1/2)$ con un errore minore di $10^(-3)$
Sostituisco in questa:
$sum_(n=0)^(oo) (x^n)/(n!)$
$x=-1/2$ quindi ho:
$sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)$$= 1 -1/2 + ((-1/2)^2)/2 + ....$
Vincolo: $|E|<= 0,001$ quindi: $|E|=|sum_(n=0)^(oo) ((-1/2)^n)/(n!)|<= 0,001$
Provo con n=0, n=1, ... finché non rispetto il vincolo:
Con $n=5$ Ok, perché ho:
$|E| = |((-1/2)^5)/(5!)| = 0,00026 <= 10^(-3)$
sarebbe $|E|=|((-1/2)^(n+1))/((n+1)!)|<= 0,001$
Problema 2 ok.
Ma $x=(1/80)$ perché? Perché é il valore interno al $sin$?
tu stai approssimando sin(1/80) con 1/80, quindi il primo termine della serie di taylor è x=1/80.
Problema 4-------------------------------------------------------------------
Mostrare come si può approssimare $(1)/(1,1)$ con un opportuno sviluppo di Taylor.
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vedilo come 1/(1+0.1), che ti dovrebbe ricordare il risultato di una serie notevole.
LUCA SEI UN ANGELO Io sono uno scemo visto il problema 1...
L'ultimo: dovrebbe essere la serie geometrica?
sì, è una serie geometrica a segni alterni, quindi solito discorso
Che C... l'avevo un po' sparata... 
(Non la trovo sul libro con segni alterni!)
Ci provo:
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1) ax^(n-1)$ <-- giusta? $= a/(1-x)$ converge se $|x|<1$
Quindi qui ho: $x=-0,1$. Che mi va bene.
Ed $a = 1$.
Ma poi?
$|E|<= |sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n) ax^(n)|$
Sono incertino... 
(Non la trovo sul libro con segni alterni!)
Ci provo:
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n-1) ax^(n-1)$ <-- giusta? $= a/(1-x)$ converge se $|x|<1$
Quindi qui ho: $x=-0,1$. Che mi va bene.
Ed $a = 1$.
Ma poi?
$|E|<= |sum_(n=1)^(oo) (-1)^(n) ax^(n)|$
Sono incertino...
La serie geometrica $sum_(n=0)^(+infty) q^n$ ha come risultato 1/(1-q) per $|q|<1$. Qui hai $q=-0.1$, quindi la serie diventa a segni alterni, pertanto
$|E|<=|(-1)^(n+1)0.1^(n+1)|$
$|E|<=|(-1)^(n+1)0.1^(n+1)|$
Ah ok.
Ma qui chiede solo l'approsimazione, dove devo arrivare allora?
Che dire?! Veramente non ho parole per ringraziarti!
Guarda se mi mandi il numero di c/c bancario o postale ti faccio dei versamenti ad ogni lezione privata!
Proprio in stile "corso di lingue de-agostini" che se paghi i bollettini ti mandano le lezioni (e pure i cd con i "trucchi" della lingua!!!
E sì, loro, sanno pure i trucchi... Mica scherzano quelli!)
Ma qui chiede solo l'approsimazione, dove devo arrivare allora?
Che dire?! Veramente non ho parole per ringraziarti!
Guarda se mi mandi il numero di c/c bancario o postale ti faccio dei versamenti ad ogni lezione privata!
Proprio in stile "corso di lingue de-agostini" che se paghi i bollettini ti mandano le lezioni (e pure i cd con i "trucchi" della lingua!!!
E sì, loro, sanno pure i trucchi... Mica scherzano quelli!)
"Giova411":
Ah ok.
Ma qui chiede solo l'approsimazione, dove devo arrivare allora?
Sì chiedeva solo l'approssimazione, io sono andato avanti per inerzia. Diciamo che puoi approssimare 1/1.1 con $T_N=sum_(n=0)^N (-0.1)^n$
"luca.barletta":
Sì chiedeva solo l'approssimazione, io sono andato avanti per inerzia...
Meglio così mi entra nella capa!
Ottimo, GRAZIE!
Tutto chiarissimo finalmente! Spero di archiviare pure il "caso Taylor" ...
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