Taylor per funzioni implicite
Salve a tutti, allora ho un'equazione in forma implicita da esplicitare utilizzando gli sviluppi di Taylor ma ho gia problemi arrivato al primo ordine e spero potrete aiutarmi
L'eq. è $x+(y-1)*log(y)+e^x=1$ che defi nisce implicitamente una funzione $x=x(y)$ in un intorno (0,1)
Ora dovrei fare lo sviluppo di Taylor della funzione per cui
$e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$
Per lo sviluppo di $log(y)$ conosco lo sviluppo di $log(1+y)$ per cui modifico $log(y)=log(1+y-1)$ e per cui lo sviluppo è
$log(1+y-1)=y-1-(y-1)^2/2+o(y^2)$
Scrivendo lo sviluppo al primo ordine della funzione viene quindi:
$x+(y-1)*(y-1)+1+x+o(x)+o(y)=1$ per cui $2x-2y+1+o(x)+o(y)=0$
ma sostituendo l'intorno iniziale specificato (0,1) nei termini dell'equazione, l'eguaglianza non è verificata.
Dove commetto l'errore?
Grazie mille per l'aiuto
L'eq. è $x+(y-1)*log(y)+e^x=1$ che defi nisce implicitamente una funzione $x=x(y)$ in un intorno (0,1)
Ora dovrei fare lo sviluppo di Taylor della funzione per cui
$e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$
Per lo sviluppo di $log(y)$ conosco lo sviluppo di $log(1+y)$ per cui modifico $log(y)=log(1+y-1)$ e per cui lo sviluppo è
$log(1+y-1)=y-1-(y-1)^2/2+o(y^2)$
Scrivendo lo sviluppo al primo ordine della funzione viene quindi:
$x+(y-1)*(y-1)+1+x+o(x)+o(y)=1$ per cui $2x-2y+1+o(x)+o(y)=0$
ma sostituendo l'intorno iniziale specificato (0,1) nei termini dell'equazione, l'eguaglianza non è verificata.
Dove commetto l'errore?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
$ x+(y-1)^2+1+x+o(x)+o(y-1)^2 =1 $ è verificata nell'intorno di $(0,1)$.
Oh è vero.
Però considerando solo i termini al primo ordine, ovvero $2x-2y+1+o(x)+o(y)=0$ (con cui poi passerò agli infinitesimi e scriverò lo sviluppo al primo ordine) l'uguaglianza non è verificata. Sbaglio io a pensare che debba esserlo?
Però considerando solo i termini al primo ordine, ovvero $2x-2y+1+o(x)+o(y)=0$ (con cui poi passerò agli infinitesimi e scriverò lo sviluppo al primo ordine) l'uguaglianza non è verificata. Sbaglio io a pensare che debba esserlo?
Cosa chiedeva esattamente l'esercizio ? Forse applicando il Teorema del Dini della funzione implicita , calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione nell'intorno di $(0,1) $ ?
Il testo dell'esercizio è questo: Stabilire che l'equazione $x+(y−1)*log(y)+e^x=1$ de finisce implicitamente una funzione x = x(y) in un intorno del punto (0, 1). Determinare la formula di Taylor per x(y) fi no al secondo ordine.
Io avevo pensato di risolverlo sviluppando prima l'equazione con Taylor e arrestarla al primo ordine (come ho fatto nel primo post). Facevo la derivata prima rispetto alla $x$ nell'intorno (0,1) e se usciva diversa da 0 concludevo che potevo sviluppare l'eq come x=x(y) e l'avrei poi sviluppata fino al secondo ordine.
Solo che appunto mi son bloccato sulla questione che con i termini al primo ordine non è più verificata l'equazione nell'intorno e mi chiedo se commetto qualche errore nei calcoli o sbaglio a considerare qualcosa.
Io avevo pensato di risolverlo sviluppando prima l'equazione con Taylor e arrestarla al primo ordine (come ho fatto nel primo post). Facevo la derivata prima rispetto alla $x$ nell'intorno (0,1) e se usciva diversa da 0 concludevo che potevo sviluppare l'eq come x=x(y) e l'avrei poi sviluppata fino al secondo ordine.
Solo che appunto mi son bloccato sulla questione che con i termini al primo ordine non è più verificata l'equazione nell'intorno e mi chiedo se commetto qualche errore nei calcoli o sbaglio a considerare qualcosa.
Riscrivo l'equazione così $ f(x,y)=x+(y-1)log y+e^x-1=0 $.
Per controllare che l'equazione definisca in modo implicito una funzione $x=x(y) $ nell'intorno del punto $ (0,1)=(x_0,y_0) $ il Teorema di Dini dice che bisogna fare 2 verifiche :
* $f(x_0,y_0)=f(0,1)=0 $ OK
* $f_x(x,y)= 1+e^x $ da cui $f_x(0,1)= 2 ne 0 $ Ok
Quindi è vero che etc etc.
A questo punto derivo rispetto ad $x $ la $f(x(y),y)=0 $ ottenendo :
$x'(y) f_x(x(y),y)+f_y(x(y),y) =0 $ da cui si ricava $x'(y) = - (f_y(x(y),y))/(f_x(x(y),y)) $ che è valida dove il denominatore non si annulla.
Facendo i conti si ha :
$x'(y)= - (logy+1-1/y)/(1+e^x) $ e in particolare $x'(1)=-(0+1-1)/(1+1)=0 $
Lo sviluppo di Taylor al primo ordine vale quindi $0$.
Bisogna ora derivare ancora per ottenere $x''(y)$ e in particolare $x''(1) $ e costruire così lo sviluppo di Taylor ...
Spero di non averti confuso le idee....
Per controllare che l'equazione definisca in modo implicito una funzione $x=x(y) $ nell'intorno del punto $ (0,1)=(x_0,y_0) $ il Teorema di Dini dice che bisogna fare 2 verifiche :
* $f(x_0,y_0)=f(0,1)=0 $ OK
* $f_x(x,y)= 1+e^x $ da cui $f_x(0,1)= 2 ne 0 $ Ok
Quindi è vero che etc etc.
A questo punto derivo rispetto ad $x $ la $f(x(y),y)=0 $ ottenendo :
$x'(y) f_x(x(y),y)+f_y(x(y),y) =0 $ da cui si ricava $x'(y) = - (f_y(x(y),y))/(f_x(x(y),y)) $ che è valida dove il denominatore non si annulla.
Facendo i conti si ha :
$x'(y)= - (logy+1-1/y)/(1+e^x) $ e in particolare $x'(1)=-(0+1-1)/(1+1)=0 $
Lo sviluppo di Taylor al primo ordine vale quindi $0$.
Bisogna ora derivare ancora per ottenere $x''(y)$ e in particolare $x''(1) $ e costruire così lo sviluppo di Taylor ...
Spero di non averti confuso le idee....
Ok quindi il procedimento fatto da te non è altro che l'applicazione del teorema di dini, giusto?
Ma quindi forse sto interpretando male ciò che chiede l'esercizio: dire "Determinare la formula di Taylor per x(y) fi no al secondo ordine" oppure "trovare un'esplicitazione x=x(y) a meno di un $o(y^2)$ " sono due cose diverse?
In ogni caso, posso comunque trovare un'esplicitazione secondo il metodo che stavo seguendo (di cui ho qualche esempio nelle esercitazioni) e se si, per quale motivo non risulta più verificata l'uguaglianza?
Grazie per l'aiuto, sei gentilissimo.
Ma quindi forse sto interpretando male ciò che chiede l'esercizio: dire "Determinare la formula di Taylor per x(y) fi no al secondo ordine" oppure "trovare un'esplicitazione x=x(y) a meno di un $o(y^2)$ " sono due cose diverse?
In ogni caso, posso comunque trovare un'esplicitazione secondo il metodo che stavo seguendo (di cui ho qualche esempio nelle esercitazioni) e se si, per quale motivo non risulta più verificata l'uguaglianza?
Grazie per l'aiuto, sei gentilissimo.
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