Taylor peano quando la funzione data è un integrale
Ciao a tutti, sto preparando esame e sono 1 po in crisi.
Sto facendo dei temi d'esame taylor e resto secondo peano. La formula è chiara e la dimostrazione al momento non mi serve.
Ora però ho trovato questo esercizio:
scrivere la formula di Taylor arrestata al II ordine di F(x) nel punto
di ascissa x0 = 2 con il resto secondo Peano.
$ F(x) = int_(2)^(x) cos ((pit^2 + 4pi)/(t+6)) dt $
Mi spiegate come mi devo comportare? Ho una mezza idea, ma non ne sono convinto..
Sto facendo dei temi d'esame taylor e resto secondo peano. La formula è chiara e la dimostrazione al momento non mi serve.
Ora però ho trovato questo esercizio:
scrivere la formula di Taylor arrestata al II ordine di F(x) nel punto
di ascissa x0 = 2 con il resto secondo Peano.
$ F(x) = int_(2)^(x) cos ((pit^2 + 4pi)/(t+6)) dt $
Mi spiegate come mi devo comportare? Ho una mezza idea, ma non ne sono convinto..
Risposte
Illustraci la "mezza idea"...
in sostanza, data una funzione f, per scrivere il polinomio di taylor di ordine 2 mi servono:
f(x0)
f'(x0)
f''(x0)
con una funzione "normale" mi basta calcolare le derivate. ma se ho un integrale è come se già avessi la derivata e dovessi calcolare la primitiva.. ma non ne sono troppo convinto..
f(x0)
f'(x0)
f''(x0)
con una funzione "normale" mi basta calcolare le derivate. ma se ho un integrale è come se già avessi la derivata e dovessi calcolare la primitiva.. ma non ne sono troppo convinto..
Certo, la derivata prima [tex]$F^\prime (x)$[/tex] l'hai già sotto il segno d'integrale (quando l'integrando è continuo, a norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale), quindi puoi facilmente calcolare [tex]$F^\prime (2)$[/tex].
Rimangono da determinare [tex]$F(2)$[/tex] ed [tex]$F^{\prime \prime} (2)$[/tex]: per il primo valore, guarda cosa succede se sostituisci [tex]$x=2$[/tex] nell'estremo superiore dell'integrale; per il secondo, beh, avendo già [tex]$F^\prime (x)$[/tex] è facile calcolare [tex]$F^{\prime \prime} (x)$[/tex], no?
Rimangono da determinare [tex]$F(2)$[/tex] ed [tex]$F^{\prime \prime} (2)$[/tex]: per il primo valore, guarda cosa succede se sostituisci [tex]$x=2$[/tex] nell'estremo superiore dell'integrale; per il secondo, beh, avendo già [tex]$F^\prime (x)$[/tex] è facile calcolare [tex]$F^{\prime \prime} (x)$[/tex], no?
suppongo tu intendessi x=0, con x=2 gli estremi sono uguali e per definizione l'area è 0..
(anche se sono solo 3 giorni che ho scoperto gli integrali e non si sa mai..
)
(anche se sono solo 3 giorni che ho scoperto gli integrali e non si sa mai..
)
quindi sostituendo con x=0 calcolo il valore della funzione in x0, quindi diventa la mia f(0).
f'' lo ricavo a partire da ciò che si trova sotto l'integrale..
e quindi alla fine paradossalmente il fatto di avere l'integrale mi ha risparmiato 1 passaggio..
f'' lo ricavo a partire da ciò che si trova sotto l'integrale..
e quindi alla fine paradossalmente il fatto di avere l'integrale mi ha risparmiato 1 passaggio..
"beppe_c":
suppongo tu intendessi x=0, con x=2 gli estremi sono uguali e per definizione l'area è 0..
(anche se sono solo 3 giorni che ho scoperto gli integrali e non si sa mai..
ma tu devi trovare il polinomio centrato in 0 o in 2? se è centrato in 2 ha ragione gugo82
Scusa beppe_c, ma l'esercizio ti chiede di scrivere la formula di Taylor centrata in [tex]$x_0=2$[/tex], mica in [tex]$x_0=0$[/tex]!
Insomma, devi scrivere una cosa del tipo:
[tex]$F(2)+F^\prime (2) (x-2)+ \frac{F^{\prime \prime} (2)}{2}\ (x-2)^2 +\text{o}((x-2)^2)$[/tex]...
A meno che tu non abbia riportato male il testo qui sul foro. Controlla un po'.
P.S.: Ad ogni modo, sì, risulta sempre [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x =0$[/tex] quando scegli [tex]$b=a$[/tex].
Insomma, devi scrivere una cosa del tipo:
[tex]$F(2)+F^\prime (2) (x-2)+ \frac{F^{\prime \prime} (2)}{2}\ (x-2)^2 +\text{o}((x-2)^2)$[/tex]...
A meno che tu non abbia riportato male il testo qui sul foro. Controlla un po'.
P.S.: Ad ogni modo, sì, risulta sempre [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x =0$[/tex] quando scegli [tex]$b=a$[/tex].
"enr87":
[quote="beppe_c"]suppongo tu intendessi x=0, con x=2 gli estremi sono uguali e per definizione l'area è 0..
(anche se sono solo 3 giorni che ho scoperto gli integrali e non si sa mai..
ma tu devi trovare il polinomio centrato in 0 o in 2? se è centrato in 2 ha ragione gugo82[/quote]
si hai ragione, ho preso un abbaglio clamoroso, stavo guardando il testo dell'esercizio sotto!!
"gugo82":
Scusa beppe_c, ma l'esercizio ti chiede di scrivere la formula di Taylor centrata in [tex]$x_0=2$[/tex], mica in [tex]$x_0=0$[/tex]!
Insomma, devi scrivere una cosa del tipo:
[tex]$F(2)+F^\prime (2) (x-2)+ \frac{F^{\prime \prime} (2)}{2}\ (x-2)^2 +\text{o}((x-2)^2)$[/tex]...
A meno che tu non abbia riportato male il testo qui sul foro. Controlla un po'.
P.S.: Ad ogni modo, sì, risulta sempre [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x =0$[/tex] quando scegli [tex]$b=a$[/tex].
si si hai ragione, 14 ore filate di matematica mi stanno dando al cervello..
quindi essendo uguali i 2 estremi, f(2) do per scontato che valga 0, e alla fine devo calcolare solo la derivata seconda, giusto?
grazie milla per l'aiuto.. credo che in questo weekend ne abuserò il più possibile!!
"beppe_c":
quindi essendo uguali i 2 estremi, f(2) do per scontato che valga 0, e alla fine devo calcolare solo la derivata seconda, giusto?
Esatto.
"beppe_c":
grazie mille per l'aiuto.. credo che in questo weekend ne abuserò il più possibile!!
Fintantoché rispetti le regole sei il benvenuto.
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