Taylor negli integrali
leggendo alcuni esercizi svolti sulla convergenza degli integrali impropri trovo:
$\-int_0^1sqrtx/(log(1+x^(3/4))
utilizzando taylor $\log(1+y)=y(o) ->log(1+x^(3/4))=x^(3/4)
e quindi $\-int_0^1 1/x^(1/4)$ converge perchè $1/4<1
ok,fin qui ci siamo..ma in un altro esercizio:
$\nt_1^infty 1/(xlog(1+x))$ che diverge.
ma in questo caso utilizzando taylor, trasforma l'integrale in $\int_1^infty 1/(x^2)$che converge
perchè se lo applichiamo ci da un risultato diverso?
$\-int_0^1sqrtx/(log(1+x^(3/4))
utilizzando taylor $\log(1+y)=y(o) ->log(1+x^(3/4))=x^(3/4)
e quindi $\-int_0^1 1/x^(1/4)$ converge perchè $1/4<1
ok,fin qui ci siamo..ma in un altro esercizio:
$\nt_1^infty 1/(xlog(1+x))$ che diverge.
ma in questo caso utilizzando taylor, trasforma l'integrale in $\int_1^infty 1/(x^2)$che converge
perchè se lo applichiamo ci da un risultato diverso?
Risposte
Messaggio editato per non creare ulteriore confusione.
Grazie Gugo
Grazie Gugo
"Feliciano":
Allora non so se ti sei confusa a scrivere o hai fatto effettivamente confusione.
La serie geometrica generalizzata $1/((f(x))^n)$
CONVERGE per n>1
DIVERGE PER N<1
Quindi per il secondo integrale non ci sono problemi in quanto effettivamente converge.
Per quanto riguarda il primo integrale non sono sicuro tu possa applicare Taylor in quanto è un integrale calcolato su un compatto. Infatti se vai a fare lo stesso integrale fra 0 e infinito questo effettivamente diverge come suggerito "da Taylor".
Aspettiamo gente più preparata.
Beh, anche tu hai fatto un bel po' di confusione...
Vediamo di spiegare un po' meglio questa storia, no?
libro alla mano,so che in un integrale del tipo $\int_0^1 1/x^n$converge se n<1
e $\int_1^infty 1/x^n$converge se n>1
comunque il primo integrale diverge..
mi chiedevo perche se utilizzavo taylor uscivano risultati diversi..perche non si puo applicare in quel caso?sembra un esercizio quasi identico al primo
e $\int_1^infty 1/x^n$converge se n>1
comunque il primo integrale diverge..
mi chiedevo perche se utilizzavo taylor uscivano risultati diversi..perche non si puo applicare in quel caso?sembra un esercizio quasi identico al primo
Il primo integrale, cioè $\int_{0}^{1}\sqrt(x)/log(1+x^(3/4)) dx$, converge per quello che tu hai scritto 
.
Nel secondo integrale, fai a meno di Taylor, anche perchè non può essere applicato. Considera infatti che se x tende a $+\infty$ non è vero che $log(1+x)$ si comporta come $x$ (se non frainteso è il ragionamento che hai fatto , giusto?)
Io procederei in altro modo:
$\int_{1}^\infty 1/(x log(1+x))dx = \int_{1}^{e} 1/(x log(1+x)) dx +\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$
A questo punto osservi che: $\int_{1}^{e} 1/(x log(1+x)) dx$ è un valore finito, questo perchè la funzione integranda è continua in $[1, e]$
Ora consideriamo $\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$. La funzione integranda $1/(x log(1+x))$ si comporta come $1/(x log(x))$ per x che tende all' infinito. Dunque:
$\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$ si comporta come $\int_{e}^\infty 1/(xlog(x))dx$, ma ques'ultimo diverge e dunque diverge anche il nostro integrale di partenza
Ti trovi?
. Nel secondo integrale, fai a meno di Taylor, anche perchè non può essere applicato. Considera infatti che se x tende a $+\infty$ non è vero che $log(1+x)$ si comporta come $x$ (se non frainteso è il ragionamento che hai fatto , giusto?)
Io procederei in altro modo:
$\int_{1}^\infty 1/(x log(1+x))dx = \int_{1}^{e} 1/(x log(1+x)) dx +\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$
A questo punto osservi che: $\int_{1}^{e} 1/(x log(1+x)) dx$ è un valore finito, questo perchè la funzione integranda è continua in $[1, e]$
Ora consideriamo $\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$. La funzione integranda $1/(x log(1+x))$ si comporta come $1/(x log(x))$ per x che tende all' infinito. Dunque:
$\int_{e}^\infty 1/(x log(1+x))dx$ si comporta come $\int_{e}^\infty 1/(xlog(x))dx$, ma ques'ultimo diverge e dunque diverge anche il nostro integrale di partenza
Ti trovi?
si si,avevo fatto anche io cosi,chiedevo solo il perche utilizzando taylor non mi trovavo con il risultato.la spiegazione era che non puo essere applicato se $\x-> infty$ ,ma solo quando $\x->x_0$ ??
in questo esercizio(numero 24):http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/pdf/soluzioni8.pdf
dice che avendo$\int_1^inftylog(1+e^(-2y))dy$ avendo utilizato taylor otteniamo $\int_1^inftye^(-2y)dy$ e poi vabbe procede con l'esercizio..
non ci capisco piu niente perchè in questo integrale$\int_1^inftylog(1+e^(-2y))dy$ si puo applicare e in questo $\int_{1}^\infty 1/(x log(1+x))dx$ non si puo
in questo esercizio(numero 24):http://www.mat.uniroma2.it/~rapagnet/pdf/soluzioni8.pdf
dice che avendo$\int_1^inftylog(1+e^(-2y))dy$ avendo utilizato taylor otteniamo $\int_1^inftye^(-2y)dy$ e poi vabbe procede con l'esercizio..
non ci capisco piu niente perchè in questo integrale$\int_1^inftylog(1+e^(-2y))dy$ si puo applicare e in questo $\int_{1}^\infty 1/(x log(1+x))dx$ non si puo
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