Taylor, limiti.

[VALE014]

Buona sera ho questo limite dove devo applicare Taylor vedendo degli esercizi guida, ed ho più o meno capito come si applica. questo è il mio limite : $ lim_(x -> 0^+) ((root(4)((1+sen^2x ) )-1)/ln[1+sqrt(1-e^(-x^2)) [(1+senx)^(-1/x)-e^-1] ]) $
il problema che i vari esempi visti erano molto semplici,QUESTO è tra i primi esercizi del libro e non fino a che ordine arrivare come faccio a capirlo? e quando ho potenze negative come devo ragionare??grazie in anticipo

[anonymous_0b37e9]

"VALE0":
... a che ordine arrivare come faccio a capirlo ...

In un prodotto, di ogni fattore puoi limitarti al primo termine. In una somma, dovendo prestare attenzione alle eventuali cancellazioni, dipende dall'esercizio. Intanto, cerca di comprendere il seguente sviluppo:

$(1+sinx)^(-1/x)=e^(-1/xlog(1+sinx))=$

$=e^(-1/xlog[1+x+O(x^3)])=e^(-1/x[x+O(x^3)-1/2x^2])=e^(-1+1/2x+O(x^2))=e^(-1)e^(1/2x+O(x^2))=$

$=e^(-1)[1+1/2x+O(x^2)]=e^(-1)+e^(-1)/2x+O(x^2)$

[VALE014]

Grazie mille

[luca661]

In generale non c'è un modo rapido per stabilire a priori fino a che ordine arrivare senza svolgere per esempio l'esercizio. Avviati risolvendo l'esercizio per il primo ordine, se ti si presentano condizioni di imprecisione (ad esempio ottieni per una determinata espansione la cancellazione di tutti i termini del polinomio di Taylor e la rimanenza solo del resto, l'o-piccolo), espandi al secondo ordine e così via finché non ottieni un " grado di precisione" sufficiente per risolvere il determinato problema.

Nota bene:

Quando tu applichi Taylor su delle funzioni devi stare ben attento che in nessuna delle funzioni scompaiano tutti i termini del polinomio ad esse associato! Se succede anche solo per una devi andare all'ordine successivo!