Taylor!!! (Inizio ad odiarlo!) Aiuto perfavore... (Luca..)
Ho trovato questi 2 problemi:
1)
Approssimare $cos(pi/10)$ con i primi 6 polinomi di Taylor. Per quale di queste approssimazioni si ha un errore minore di 0.0001?
----------------------------------
2)
Usare il polinomio di Taylor della funzione $f(x) = log(x+1)$ per calcolare e valutare $log(1,1)$ con errore minore di $1/1000$
----------------------------------
Arrivo con i pasticci che ho provato a fare...
Non ho le soluzioni (per questo posto...
)
1)
Approssimare $cos(pi/10)$ con i primi 6 polinomi di Taylor. Per quale di queste approssimazioni si ha un errore minore di 0.0001?
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2)
Usare il polinomio di Taylor della funzione $f(x) = log(x+1)$ per calcolare e valutare $log(1,1)$ con errore minore di $1/1000$
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Arrivo con i pasticci che ho provato a fare...
Non ho le soluzioni (per questo posto...
)
Risposte
PROBLEMA 1)
Il centro é $a = 0$ ??
Io pensavo di si.
Polinomio di 6 grado cercato: $T_6(x) = sum_(n=0)^(6) ( f^(n)(x_0) (x-x_0))/(n!)$ $ = $ giusto???---> $= sum_(n=0)^(6) ( f^(n)(x_0) ((pi/10)-x_0))/(n!)$
Trovo tutte le:
$f(x)=cosx .... $fino a -->$ f^6(x)=-cosx$ con le rispettive (sempre se a=0 ?! ) $f(0)=1 ...$fino a --->$ f^6(0) = -1$
Devo verificare che $|E|<0,0001$ giusto?
Allora provo tutte le approssimazioni.
Ad esempio con $n=4$ vedo che $|E|>0,0001$ quindi non va bene.
Ma se con gli $n$ che mi restituiscono $ f^(n) (a) = 0$ che ci faccio? Non le prendo in considerazione?
Con $n=6$
$|E|= |(-1(pi/10-0)^6)/(6!)|= 0,0000013$ $<0,0001$ quindi va bene con $n=6$.
Ho sbagliato tutto?
Il centro é $a = 0$ ??
Io pensavo di si.
Polinomio di 6 grado cercato: $T_6(x) = sum_(n=0)^(6) ( f^(n)(x_0) (x-x_0))/(n!)$ $ = $ giusto???---> $= sum_(n=0)^(6) ( f^(n)(x_0) ((pi/10)-x_0))/(n!)$
Trovo tutte le:
$f(x)=cosx .... $fino a -->$ f^6(x)=-cosx$ con le rispettive (sempre se a=0 ?! ) $f(0)=1 ...$fino a --->$ f^6(0) = -1$
Devo verificare che $|E|<0,0001$ giusto?
Allora provo tutte le approssimazioni.
Ad esempio con $n=4$ vedo che $|E|>0,0001$ quindi non va bene.
Ma se con gli $n$ che mi restituiscono $ f^(n) (a) = 0$ che ci faccio? Non le prendo in considerazione?
Con $n=6$
$|E|= |(-1(pi/10-0)^6)/(6!)|= 0,0000013$ $<0,0001$ quindi va bene con $n=6$.
Ho sbagliato tutto?
PROBLEMA 2)
Qua non so da dove iniziare.
Con la f(x) fino a che grado devo valutarla con Taylor?
Poi è centrata in $0$ e devo approssimarla in $log(1,1)$?
Qua non so da dove iniziare.
Con la f(x) fino a che grado devo valutarla con Taylor?
Poi è centrata in $0$ e devo approssimarla in $log(1,1)$?
Se $-1 \le x < 1$: $\log(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$. Ficcaci dentro $x = -0.1$ e fatti due conti, sfruttando (se vuoi) il criterio di Leibniz per valutare l'entità dell'errore di stima.
"DavidHilbert":
Se $-1 \le x < 1$: $\log(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$. Ficcaci dentro $x = -0.1$ e fatti due conti, sfruttando (se vuoi) il criterio di Leibniz per valutare l'entità dell'errore di stima.
Dici di trovare la serie che rappresenta $log (x+1) $ centrata in $x=-0,1$ (-0,1 dove l'hai ricavato?)
Poi Leibniz perché è di segno alterno...
Il primo problema come lo vedi? non mi dire che l'ho fatto giusto?!
"Giova411":
Dici di trovare la serie che rappresenta $log (x+1) $ centrata in $x=-0,1$ (-0,1 dove l'hai ricavato?)
1.1 = 1 - x ti fa venire in mente nulla?
E comunque ho scritto log(1-x), non log(x+1)."Giova411":
Il primo problema come lo vedi?
Semplicemente non lo vedo - odio i conti.
Si, scusami. Ti ringrazio per il suggerimento.
Ma mi stai proponendo uno svolgimento che non ho mai visto fin'ora... Per questo non ci capisco nulla... Già l'altro tipo di procedimento (che ho sul libro..) mi mette in difficoltà, (...) figuriamoci questo.
Ma mi stai proponendo uno svolgimento che non ho mai visto fin'ora... Per questo non ci capisco nulla... Già l'altro tipo di procedimento (che ho sul libro..) mi mette in difficoltà, (...) figuriamoci questo.
1)
Prendiamo lo sviluppo di MacLaurin del $cos(x)$ (centro in 0):
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
il testo del problema impone che sia
$|E|<=0.0001$
allora scriviamo (per $x=pi/10$):
$|(-1)^n(pi/10)^(2n)/((2n)!)|=(pi/10)^(2n)/((2n)!)<=0.0001$
si potrebbe trovare n risolvendo questa disequazione. Ma il testo suggerisce di andare per tentativi, quindi puoi proseguire così
Prendiamo lo sviluppo di MacLaurin del $cos(x)$ (centro in 0):
$cosx=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^nx^(2n)/((2n)!)$
il testo del problema impone che sia
$|E|<=0.0001$
allora scriviamo (per $x=pi/10$):
$|(-1)^n(pi/10)^(2n)/((2n)!)|=(pi/10)^(2n)/((2n)!)<=0.0001$
si potrebbe trovare n risolvendo questa disequazione. Ma il testo suggerisce di andare per tentativi, quindi puoi proseguire così
2)
Considera la serie di Taylor di $ln(1+x)$:
$ln(1+x)=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^(n+1)x^n/(n)$, ci interessa per $x=0.1$ (la serie è convergente in x=0.1)
come sempre, poichè la serie è a segni alterni, l'errore commesso è minore del primo termine trascurato
$|E|<=|(-1)^(n+2)0.1^(n+1)/(n+1)|=0.1^(n+1)/(n+1)$
e questo deve essere <= a 1/1000:
$0.1^(n+1)/(n+1)<=1/1000$
Considera la serie di Taylor di $ln(1+x)$:
$ln(1+x)=sum_(n=0)^(+infty) (-1)^(n+1)x^n/(n)$, ci interessa per $x=0.1$ (la serie è convergente in x=0.1)
come sempre, poichè la serie è a segni alterni, l'errore commesso è minore del primo termine trascurato
$|E|<=|(-1)^(n+2)0.1^(n+1)/(n+1)|=0.1^(n+1)/(n+1)$
e questo deve essere <= a 1/1000:
$0.1^(n+1)/(n+1)<=1/1000$
Appena ho visto la tua risp ho esultato! (Il palazzo ha tremato...)
Aspé che quasi ci sono...
1)
Nel primo troverò un valore numerico che confronto ogni volta con l'errore e, se è minore, mi fermo. Ma va bene il <=?
2)
Il secondo ho capito che hai trovato la serie (notevole) del log(x+1) ma perché hai preso il x_o=0,1? (Forse perché (x+1)=1,1 , oppure, è il valore di ln(1,1)? )
Poi, mi sembra, che considerando il primo termine trascurato hai messo posto n=n+1 . Ma anche qui devo sempre porre <=?
E poi, alla fine, non avrò un valore numerico definito. Mi fermo lì dove sei arrivato tu?
Sei grande Luca.
Ti devono fare ADMIN+MASTER+GUEST del forum!
Raccoglierò delle firme...
Il Senior Member ti va strettino! 
1) va bene il <= perchè tu vuoi che l'errore non superi 0.0001
2) ho preso x=0.1 proprio perchè ln(1+x)=ln(1.1); e anche qui l'errore deve essere <= al valore imposto dal testo; per terminare il problema dovresti trovare il valore di n che soddisfa la disequazione
Non vorrei dare la botta definitiva al palazzo...
2) ho preso x=0.1 proprio perchè ln(1+x)=ln(1.1); e anche qui l'errore deve essere <= al valore imposto dal testo; per terminare il problema dovresti trovare il valore di n che soddisfa la disequazione
Non vorrei dare la botta definitiva al palazzo...
Si mi è chiaro,
ma sai, che forse, non la so manco risolvere..
$0,1^(n+1)<= (n+1)/1000$
$log_(0,1) ((n+1)/(1000)) <= n+1$ mi sa che non ne vengo fuori vivo... Che disastro sono?! Faccio ridere i polli...
ma sai, che forse, non la so manco risolvere..
$0,1^(n+1)<= (n+1)/1000$
$log_(0,1) ((n+1)/(1000)) <= n+1$ mi sa che non ne vengo fuori vivo... Che disastro sono?! Faccio ridere i polli...
vai per tentativi, il primo intero che soddisfa la disequazione è n=2
Si, non la so risolvere! Dovrei tornare alle medie!
Vado per tentativi e verifico le disuguaglianza, così come mi avevi consigliato di fare nel problema 1....
Se domani sentirai al telegiornale che è crollato un palazzo a Bolzano... Sai il perché... Nessuna fuga di gas...
Vado per tentativi e verifico le disuguaglianza, così come mi avevi consigliato di fare nel problema 1....
Se domani sentirai al telegiornale che è crollato un palazzo a Bolzano... Sai il perché... Nessuna fuga di gas...
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