Taylor in 3 variabili

[Summerwind78]

Ciao a tutti

mi trovo davanti ad un esercizio in cui devo calcolare lo sviluppo di Taylor di una funzione in 3 variabili fino al terzo ordine

In internet ho trovato più di un sito che spiega come fare, ma non riesco assolutamente a capire la formula con i vari indici ed esponenti.

Ho cercato di ricavare un metodo usando uno sviluppo di un'equazione in due variabili.

La funzione è

$f(x,y,z) = x^2 sin(yz) e^{z}$

calcolate nel punto $P_0 (1,1,0)$
a me il risultato è venuto che

$f(x,y,z) \approx z + 6(x-1)(y-1)z$

non vi ho scritto i calcoli perchè sono chilometrici

ma ho usato la formula:

[tex]f(x,y,z)\approx{}f(x_0,y_0,z_0)+\frac{1}{1!}\left[(x-x_0)\frac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0,z_0)+(y-y_0)\frac{\partial}{\partial y}f(x_0,y_0,z_0)+(z-z_0)\frac{\partial }{\partial y}f(x_0,y_0,z_0)\right][/tex]

[tex]+\frac{1}{2!}\left[{(x-x_0)}^2\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}f(x_0,y_0,z_0)+{(y-y_0)}^2\frac{{\partial}^2}{\partial y^2}f(x_0,y_0,z_0)+{(z-z_0)}^2\frac{d^2}{dz^2}f(x_0,y_0,z_0)\right][/tex]

[tex]+\frac{1}{2!}\left[2(x-x_0)(y-y_0)(z-z_0)\frac{{\partial}^2}{\partial x \partial y}f(x_0,y_0,z_0)\right][/tex]

[tex]+\frac{1}{2!}\left[2(x-x_0)(y-y_0)(z-z_0)\frac{{\partial}^2}{\partial x \partial z}f(x_0,y_0,z_0)\right][/tex]

[tex]+\frac{1}{2!}\left[2(x-x_0)(y-y_0)(z-z_0)\frac{{\partial}^2}{\partial y \partial z}f(x_0,y_0,z_0)\right][/tex]

è corretta?

in qualsiasi caso... qualcuno potrebbe spiegarmi come ricavare uno sviluppo di una equazione in $n$ variabili per farlo capire ad un bambino di 2 anni?

è un pochino urgente

Grazie mille a tutti


Sposto in Analisi Matematica
Camillo