Taylor for ever

[Archimede87]

Rieccomi con il carissimo Taylor

$lim_(x->0) (log(1+3x^(2))-3xsinx)/(x^(3)*(e^(2x)-1))$

$sinx=x-(x^(3))/3!+(x^(5))/5!+0(x^(6));$
$e^(2x)=1+2x+2x^(2)+0(x^2);$

Dividendo numeratore e denominatore per $3x^2$

$ lim_(x->0) (log(1+3x^(2))^(1/(3x^2))-1/x*(x-(x^(3))/6+0(x^(4))))/(x/(3)*(1+2x+0(x)-1))=lim_(x->0) (log(1+3x^(2))^(1/(3x^2))-1+(x^(2))/6+0(x^3))/((2x^(2))/3+0(x^2))=1/4$

Potreste controllare se va bene?

[Nidhogg]

"Archimede87":

$lim_(x->0) (log(1+3x^(2))-3xsinx)/(x^(3)*(e^(2x)-1))$

Il limite proposto tende a $-2$.

[_nicola de rosa]

"Archimede87":Rieccomi con il carissimo Taylor

$lim_(x->0) (log(1+3x^(2))-3xsinx)/(x^(3)*(e^(2x)-1))$

$sinx=x-(x^(3))/3!+(x^(5))/5!+0(x^(6));$
$e^(2x)=1+2x+2x^(2)+0(x^2);$

Dividendo numeratore e denominatore per $3x^2$

$ lim_(x->0) (log(1+3x^(2))^(1/(3x^2))-1/x*(x-(x^(3))/6+0(x^(4))))/(x/(3)*(1+2x+0(x)-1))=lim_(x->0) (log(1+3x^(2))^(1/(3x^2))-1+(x^(2))/6+0(x^3))/((2x^(2))/3+0(x^2))=1/4$

Potreste controllare se va bene?

$sinx=x-x^3/6+0(x^(4))$
$log(1+3x^2)=3x^2-1/2*(3x^2)^2=3x^2-9/2*x^4+0(x^5)$
$e^(2x)=1+2x+0(x^2)$ per cui
$lim_(x->0) (log(1+3x^(2))-3xsinx)/(x^(3)*(e^(2x)-1))=lim_(x->0)(3x^2-9/2*x^4-3x(x-x^3/6))/(x^3*2x)=lim_(x->0)(3x^2-9/2x^4-3x^2+1/2x^4)/(2x^4)$
=$lim_(x->0)(-4x^4)/(2x^4)=-2$

[fireball1]

No è sbagliato... Il risultato è -2.
Si fa in due passaggi...
$log(1+3x^2)=3x^2-1/2(3x^2)^2+o(x^4)=3x^2-9/2x^4+o(x^4)$ per $x->0$
$3xsinx=3x(x-1/6x^3 + o(x^3)) = 3x^2 - 1/2 x^4 + o(x^4)$ per $x->0$
per cui $log(1+3x^2)-3xsinx= -4x^4+o(x^4) ~~ -4x^4$ per $x->0$
Il denominatore si vede immediatamente che va a 0 come $2x^4$, quindi il tutto va a $-2$.

[_nicola de rosa]

"Reynolds":No è sbagliato... Il risultato è -2.
Si fa in due passaggi...
$log(1+3x^2)=3x^2-1/2(3x^2)^2+o(x^4)=3x^2-9/2x^4+o(x^4)$ per $x->0$
$3xsinx=3x(x-1/6x^3 + o(x^3)) = 3x^2 - 1/2 x^4 + o(x^4)$ per $x->0$
per cui $log(1+3x^2)-3xsinx= -4x^4+o(x^4) ~~ -4x^4$ per $x->0$
Il denominatore si vede immediatamente che va a 0 come $2x^4$, quindi il tutto va a $-2$.

grazie della conferma

[fireball1]

Ma figurati ^^

[Archimede87]

Grazie mille