Taylor e McLaurin applicati ai limiti
ho questo limite $lim_(x->0)(1+x^3)^((1)/((x^2+1)^4-1))$ e vorrei applicare il teorema potete darmi una mano? nel teorema di Taylor c'è un'intervallo ma come posso eseguirlo in questo caso?
ad esempio vorrei capire meglio lo svolgimento di questo limite per iniziare:
$lim_(x->0)((x-senx))/(x^3)$
mi dice che $senx=x-(x^3)/(3!)+o(x^4)$ ecco volevo ben capire devo impararla a memoria?
ad esempio vorrei capire meglio lo svolgimento di questo limite per iniziare:
$lim_(x->0)((x-senx))/(x^3)$
mi dice che $senx=x-(x^3)/(3!)+o(x^4)$ ecco volevo ben capire devo impararla a memoria?
Risposte
Ciao!
Accetti una piccola osservazione?
Dal livello dei limiti da te proposti fino ad ora,
si deduce come la formula di Taylor non dovrebbe esserti quasi mai strettamente indispensabile per calcolarli e che,
al più,ti sarà utile dal punto di vista pratico quando,
qualora avessi a che fare nelle altre materie con funzioni a legge di definizione un pò più "anomale" rispetto a quelle con le quali avrai usualmente a che fare nella loro trattazione,
vorrai "linearizzarle"
(nel senso d'approssimarle a polinomi a meno di quantità trascurabili,o infinitesime che dir si voglia..):
è un andazzo tipico di molti corsi di Economia o Chimica,
ad uno dei quali,magari sbagliando,ritengo abbastanza alta la probabilità che tu appartenga.
Te lo dico perchè per risolvere limiti con Taylor bisogna prima aver tanta padronanza col mezzo generale
(ovvero l'algebra dei limiti..)
da essere subito in grado di capire che quello è il modo più veloce ed opportuno di calcolarlo,
ed altrettanta del mezzo specifico
(la formula di Taylor,appunto..)
da esser certi d'usarlo senza compiere errori molto comuni quali,ad esempio,approssimare ad un ordine inadeguato:
nel tuo caso,comunque,ti basterebbe osservare che $EElim_(x to 0)[f(x)-1]g(x)=lim_(x to 0)[(1+x^3)-1]1/((x^2+1)^4-1)=lim_(x to 0)(x^3)/((x^2+1)^4-1)=lim_(x to 0)x/(((x^2+1)^4-1)/(x^2))=$
$=0/4$(per un noto limite notevole..)$=0rArrEElim_(x to 0)(1+x^3)^(1/((x^2+1)^4-1))=e^0=1$..
Saluti dal web.
Accetti una piccola osservazione?
Dal livello dei limiti da te proposti fino ad ora,
si deduce come la formula di Taylor non dovrebbe esserti quasi mai strettamente indispensabile per calcolarli e che,
al più,ti sarà utile dal punto di vista pratico quando,
qualora avessi a che fare nelle altre materie con funzioni a legge di definizione un pò più "anomale" rispetto a quelle con le quali avrai usualmente a che fare nella loro trattazione,
vorrai "linearizzarle"
(nel senso d'approssimarle a polinomi a meno di quantità trascurabili,o infinitesime che dir si voglia..):
è un andazzo tipico di molti corsi di Economia o Chimica,
ad uno dei quali,magari sbagliando,ritengo abbastanza alta la probabilità che tu appartenga.
Te lo dico perchè per risolvere limiti con Taylor bisogna prima aver tanta padronanza col mezzo generale
(ovvero l'algebra dei limiti..)
da essere subito in grado di capire che quello è il modo più veloce ed opportuno di calcolarlo,
ed altrettanta del mezzo specifico
(la formula di Taylor,appunto..)
da esser certi d'usarlo senza compiere errori molto comuni quali,ad esempio,approssimare ad un ordine inadeguato:
nel tuo caso,comunque,ti basterebbe osservare che $EElim_(x to 0)[f(x)-1]g(x)=lim_(x to 0)[(1+x^3)-1]1/((x^2+1)^4-1)=lim_(x to 0)(x^3)/((x^2+1)^4-1)=lim_(x to 0)x/(((x^2+1)^4-1)/(x^2))=$
$=0/4$(per un noto limite notevole..)$=0rArrEElim_(x to 0)(1+x^3)^(1/((x^2+1)^4-1))=e^0=1$..
Saluti dal web.
certo...io accetto tutte le osservazioni (sono costruttive)...si devo io sono iscritta in economia e devo dare matematica generale per laurearmi...ma purtroppo ho problemi con i limiti (soprattutto quelli notevoli)..purtroppo non ho basi di matematica..tutto quello che so l'ho imparato dal libro che sto usando insieme al vostro aiuto...
Mmhhh..credo d'aver capito il tuo problema!
Se è quello che ipotizzo io,allora facciamo un passo indietro:
t'è innanzitutto chiaro che,
quando ad un certo punto dei conti
(poi,nel caso,discuteremo del perchè li ho impostati così,dato che ora mi preme più una tua risposta a questa domanda..)
mi son trovato davanti a $lim_(x to 0)(x^3)/((x^2+1)^4-1)$,
ho preso spunto dal limite notevole $lim_(t to 0)((1+t)^k-1)/t=k$ per dividere per $x^2$ denominatore e numeratore della funzione che si stà passando al limite?
E t'è chiaro perche questa "doppia divisione" è lecita,ai fini del calcolo del limite assegnato?
Facci sapere,che così sapremo da dove continuare a parlarne:
saluti dal web.
Se è quello che ipotizzo io,allora facciamo un passo indietro:
t'è innanzitutto chiaro che,
quando ad un certo punto dei conti
(poi,nel caso,discuteremo del perchè li ho impostati così,dato che ora mi preme più una tua risposta a questa domanda..)
mi son trovato davanti a $lim_(x to 0)(x^3)/((x^2+1)^4-1)$,
ho preso spunto dal limite notevole $lim_(t to 0)((1+t)^k-1)/t=k$ per dividere per $x^2$ denominatore e numeratore della funzione che si stà passando al limite?
E t'è chiaro perche questa "doppia divisione" è lecita,ai fini del calcolo del limite assegnato?
Facci sapere,che così sapremo da dove continuare a parlarne:
saluti dal web.
beh insomma...nel senso che un pò conosco questi limiti notevoli, ma non ho capito come si mettono in pratica
Allora facciamo così:
partendo dal fatto che quello dei limiti notevoli è solo un "alfabeto" che dovrai imparare,
a quale tra essi ti "somiglia" il denominatore della funzione $(x^3)/((x^2+1)^4-1)$?
Saluti dal web.
partendo dal fatto che quello dei limiti notevoli è solo un "alfabeto" che dovrai imparare,
a quale tra essi ti "somiglia" il denominatore della funzione $(x^3)/((x^2+1)^4-1)$?
Saluti dal web.
ma quindi devo prendere in considerazione solo il denominatore? comunque credo che assomigli a $((1+x)^(K)-1)/(kx)$
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