Taylor e Limiti

[Kashaman]

Ragazzi, ho un dubbio non indifferente. Ho da calcolarmi il seguente limite

$lim_{x->0^+} ( x-sin^2(\sqrt( x)) - sin^2(x))/x^2$

Utilizzando gli sviluppi notevoli di taylor riguardanti il seno ho che :
1) $(sin(\sqrtx) )^2= ( \sqrt(x) - \sqrt(x^3)/(3!) + o ( x^(3/2)))^2= x-x^2/3+o(x^2) $
2) $(sinx)^2 = (x+o(x))^2= (x^2+o(x^2)$
Ho che
$x-(sin(\sqrtx))^2-sin^2(x)= -2/3x^2+o(x^2)$ dunque ritornando al limite di partenza ho che

$=lim_{x->0^+} ( (-2/3x^2+o(x^2))/x^2)= lim_{x->0^+} ( -2/3x^2/x^2)=-2/3$ che è il risultato corretto.

Ecco il mio dubbio :

Mi accorgo che $sin(x)^2$ ha ordine di infinitesimo 2 , mentre $sin(\sqrtx)^2$ ha ordine 1.
Se applico il principio di sostituzione degli infinitesimi, avrei che il limite è equivalente a
$lim_{x->0^+} ( x-sin^2(\sqrt( x)) )/x^2$. Ma ciò è evidentemente un errore, in quanto avrei limite pari a $1/3$.
Qual'è l'errore concettuale che commetto applicando tale principio? quello di non tener conto del fattore $x$?
O meglio, l'errore che commetto è quello di dare per vero che $x-sin^2(\sqrtx)$ ha ordine inferiore rispetto a $sin^2(x)$ , giusto?

Grazie mille

[ciampax]

Cancellazione degli infinitesimi di ordine inferiore.

[Kashaman]

Salve ciampax e ti ringrazio per la risposta. Te dici che l'errore che commetto è quello di cancellare infinitesimi di ordine inferiore, ma ciò non è lecito per funzioni infinitesime, giusto?

[ciampax]

Esattom non è lecito. Esempio banalissimo $\sin x-x$: essa è infinitesima di ordine $3$, ma se ti limiti al semplice confronto locale andresti ad affermare che $\sin x-x\sim 0$ il che è alquanto assurdo, non credi?

[Kashaman]

grazie ciampax, sei stato molto chiaro.