Taylor e imite
Eccolo qui:
$lim_(x->0)(arctan(x)-senh(x))/(2x^3+7sen^5(x))$
Adesso il dilemma tra me derive e il libro
Per derive fa $oo$, per il libro $-1/4$, per me $-1/3$. Mi fiderei più di derive ma ho bisogno anche di capire!
Io ho semplificato gli sviluppi fino al terzo ordine del numeratore e ottenuto $-(2x^3)/3+o(x^3)$
Al denominatore 2x^3 rimane com'è mentre per 7sen^5(x) ho fatto lo sviluppi sempre fino al 3 ordine di senx e poi elevato alla quinta.
Tutti i termini ottenuto sono o(x^3) di conseguenza mi rimane $(-(2x^3)/3+o(x^3))/((2x^3)+o(x^3)) = -1/3$
$lim_(x->0)(arctan(x)-senh(x))/(2x^3+7sen^5(x))$
Adesso il dilemma tra me derive e il libro
Per derive fa $oo$, per il libro $-1/4$, per me $-1/3$. Mi fiderei più di derive ma ho bisogno anche di capire!
Io ho semplificato gli sviluppi fino al terzo ordine del numeratore e ottenuto $-(2x^3)/3+o(x^3)$
Al denominatore 2x^3 rimane com'è mentre per 7sen^5(x) ho fatto lo sviluppi sempre fino al 3 ordine di senx e poi elevato alla quinta.
Tutti i termini ottenuto sono o(x^3) di conseguenza mi rimane $(-(2x^3)/3+o(x^3))/((2x^3)+o(x^3)) = -1/3$
Risposte
Guarda che $arctanx-sinhx~=-1/2x^3+"o"(x^3)$...
Inoltre al denominatore puoi evitarti lo sviluppo di $sin^5x$: infatti si ha:
$2x^3+7sin^5x=2x^3(1+7/2 (sin^5x)/x^3)$
ed è evidente che $lim_(x\to 0) (sin^5x)/x^3=lim_(x\to 0) ((sinx)/x)^3 sin^2x=1*0=0$.
Inoltre al denominatore puoi evitarti lo sviluppo di $sin^5x$: infatti si ha:
$2x^3+7sin^5x=2x^3(1+7/2 (sin^5x)/x^3)$
ed è evidente che $lim_(x\to 0) (sin^5x)/x^3=lim_(x\to 0) ((sinx)/x)^3 sin^2x=1*0=0$.
Grazie mille!
Per adesso entro in crisi quando trovo degli sviluppi con elevamenti vari tipo
:
$lim_(x->0)(e^x+cosx-2-x)/(tan^3(4x)-3sen^4(2x))$
Devi svolgere il cubo e il fattore alla quarta?
In quello alla quarta ho notato che non ci sono, in caso, termini che non rientrano nell'o(x^3). E' una considerazione che è lecito fare?
Per adesso entro in crisi quando trovo degli sviluppi con elevamenti vari tipo
:$lim_(x->0)(e^x+cosx-2-x)/(tan^3(4x)-3sen^4(2x))$
Devi svolgere il cubo e il fattore alla quarta?
In quello alla quarta ho notato che non ci sono, in caso, termini che non rientrano nell'o(x^3). E' una considerazione che è lecito fare?
Tra due infinitesimi prevale quello d'ordine minore: ad esempio si ha:
$tan^3(4x)-3sin^4(2x)=tan^3(4x)*(1-3(sin^4(2x))/(tan^3(4x)))$
con:
$lim_(x\to 0) (sin^4(2x))/(tan^3(4x))=lim_(x\to 0) (sin^3(2x))/(tan^3(4x))*sin(2x)=lim_(x\to 0) ((sin(2x))/(2x))^3*((4x)/(tan(4x)))^3*((2x)/(4x))^3*sin(2x)=1*1*1/8*0=0$,
cosicché:
$tan^3(4x)-3sin^4(2x)~= tan^3(4x)$.
$tan^3(4x)-3sin^4(2x)=tan^3(4x)*(1-3(sin^4(2x))/(tan^3(4x)))$
con:
$lim_(x\to 0) (sin^4(2x))/(tan^3(4x))=lim_(x\to 0) (sin^3(2x))/(tan^3(4x))*sin(2x)=lim_(x\to 0) ((sin(2x))/(2x))^3*((4x)/(tan(4x)))^3*((2x)/(4x))^3*sin(2x)=1*1*1/8*0=0$,
cosicché:
$tan^3(4x)-3sin^4(2x)~= tan^3(4x)$.
Favoloso!!!
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Ma perchè si ostinano con questi cubi?
Devo determinare l'ordine e la parte principale d'infinitesimo rispetto naturalmente a $x^alfa$ di:
$lim_(x->0)(x^3-sen^3x)$
ho provato a fare lo sviluppo del seno dentro il cubo ma poi arrivo al cubo di un trinomio.. e mai possibile che devo svolgerlo e non c'è altra strada?
Devo determinare l'ordine e la parte principale d'infinitesimo rispetto naturalmente a $x^alfa$ di:
$lim_(x->0)(x^3-sen^3x)$
ho provato a fare lo sviluppo del seno dentro il cubo ma poi arrivo al cubo di un trinomio.. e mai possibile che devo svolgerlo e non c'è altra strada?
Comunque tanto per la cronaca la mia TI-89 Titanium dice che il risultato del limite è $-1/4
In realtà è molto semplice svolgere le potenza di una funzione, nell' ultima funzione data hai: $sin^3(x)$.
Allora prima svolgi il seno, e poi elevi alla potenza cercata i risultati che hai ottenuto, cioè
$sin(x) \sim x$ e a questo punto elevi al cubo e ottieni $x^3$.
In qualunque caso tu debba elevare ad una certa potenza devi prima sviluppare un paio di termini della funzione e poi applicarci la potenza.
Nell' esercizio precedente avresti potuto notare la soluzione molto più velocemente senza dover esplicitare tutti i vari passaggi di gugo82, scrivendo:
$tan(4x) \sim 4x$ quindi $(4x)^3$
Mentre il $-3sin^4(2x)$ aveva come primo termine $x^4$ perchè si ottiene $(2x)^4$ quindi già di ordine superiore al termine dato da arctg.
Allora prima svolgi il seno, e poi elevi alla potenza cercata i risultati che hai ottenuto, cioè
$sin(x) \sim x$ e a questo punto elevi al cubo e ottieni $x^3$.
In qualunque caso tu debba elevare ad una certa potenza devi prima sviluppare un paio di termini della funzione e poi applicarci la potenza.
Nell' esercizio precedente avresti potuto notare la soluzione molto più velocemente senza dover esplicitare tutti i vari passaggi di gugo82, scrivendo:
$tan(4x) \sim 4x$ quindi $(4x)^3$
Mentre il $-3sin^4(2x)$ aveva come primo termine $x^4$ perchè si ottiene $(2x)^4$ quindi già di ordine superiore al termine dato da arctg.
Prima sviluppo e poi applica la potenza. Ma in questo caso devo fare il cubo di un trinomio?
"robott":
Prima sviluppo e poi applica la potenza. Ma in questo caso devo fare il cubo di un trinomio?
Scusa ma non capisco perchè dici "trinomio", sei tu che decidi quandi termini svilpuppare. Senza contare che per quel seno basta scrivere il primo termine.
Se proprio non resisti e vuoi svipuppare più di un termine, ne scrivi 2: i termini più "utili" saranno in qualunque caso il cubo del primo e 3volte il quadrato del primo per il secondo.. a seguire tutti gli altri saranno, generalmente, superfrui, perchè di grado molto superiore agli altri..
un esempio: $sen^3(x) = (x - x^3/(3!))^3$ e i primi termini che ti serviranno saranno: $x^3 - x^5/2$ poi vedi tu sè il caso di molplicare ancora ottenendo: $-x^7/2 + x^9$
Consideravo erroenamente l'opiccolo!
Grazie!
Grazie!
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