Taylor & MacLaurin

[Navarone89]

Salve a tutti, il mio dilemma è il seguente.
L' approssimazione della funzione f(x)=e^(αx^2), α∈ℜ, tramite MacLaurin.
Quello che non capisco è questo :
Se considero g(t)=e^t con MacLaurin diventa Σ(t^n)/n!
Operando la sostituzione t=αx^2
la nuova serie diventa Σ[(αx^2)^n]/n! a meno di un o(x^n); tutto bellissimo.
Ma se al posto di operare la sostituzione faccio il metodo delle derivate successive ottengo

1) f'(x)=2αxe^(αx^2)
2)f''(x)=4(α^2x^2)e^(αx^2)
n)f(n)(x)=(2^n)[(α^n)(x^n)]e^(αx^2)

Adesso per ogni n-esima derivata calcolata in 0, essa fa zero. Cioè f(n)(0)=0. Così facendo è impossibile ottenere la serie ottenuta nei passaggi precedenti tramite sostituzione. Qualcuno può spiegarmi in cosa sbaglio? Spero di non aver violato nessuna regola del forum, spero anche di essere stato chiaro. Aspetto risposta. Grazie

[lordb]

ciao e benvenuto, leggi questo http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

Se ho capito bene vuoi un'approssimazione polinomiale di $f:RR->RR,x->e^(ax^2)|ainRR$ in un intorno di $0$.

1) Potresti sfruttare la definizione attraverso le serie di potenze: $e^z=sum_(k=0)^(+oo)z^k/(k!)$, posto $z=ax^2$ ottieni: $e^(ax^2)=sum_(k=0)^(+oo)(ax^2)^k/(k!)$ quindi: $e^(ax^2)=sum_(k=0)^(n)(ax^2)^k/(k!) + o(x^(2n))$.

2) Usare uno sviluppo di Taylor in un intorno di zero, ovvero MacLaurin:

$T(x-a)=sum_(k=0)^(n)(f^k(a))/(k!)*(x-a)^k + o((x-a)^n)$ posto $a=0$:

$T(x-0)=M(x)=sum_(k=0)^(n)(f^k(0))/(k!)*(x)^k + o((x)^n)$

$f^0(0)=1$
$f^{\prime}(0)=0$
$f^2(0)=2a$
$f^3(0)=0$
$f^4(0)=12a^2$
$f^5(0)=0$
...

$M(x)=1+(2ax^2)/(2!)+(12a^2x^4)/(4!)+...o(x^n)=1+(ax^2)/(1!)+(a^2x^4)/(2!)+..o(x^n)$

Come vedi si annullano solo le derivate di ordine dispari non tutte!

[Navarone89]

Grazie mille, mi hai fatto capire in cosa sbagliavo ed hai anche chiarito altri miei dubbi in merito.

[lordb]

Di niente