Taylor

[LelleL1]

I miei saluti a tutti, ho una domanda da porre che spero di riuscire a esprimere in modo comprensibile. Forse è una domanda stupida. Comunque procedo:
quando mi è stato spiegato il polinomio di Taylor e la sua funzione, per aiutare gli studenti a cogliere istantaneamente lo spirito della cosa, il professore all'inizio si è fermato ad uno sviluppo del primo ordine, mostrandoci anche graficamente che in un intorno del punto scelto la retta tangente riusciva ad approssimare la funzione con un errore molto piccolo. Poi ha detto che andando avanti con lo sviluppo l'approssimazione della funzione sarebbe stata più accurata. La mia domanda riguarda proprio gli sviluppi successivi: perché sommando le derivate successive (moltiplicate per le rispettive potenze) allo sviluppo del primo ordine si ottiene una precisione maggiore?
Sapete consigliarmi magari qualche lettura sull'argomento?
Non so se il mio quesito è ragionevole, comunque questo è quanto.
Ringrazio in anticipo coloro che posteranno una risposta.

[gugo82]

"LelleL":La mia domanda riguarda proprio gli sviluppi successivi: perché sommando le derivate successive (moltiplicate per le rispettive potenze) allo sviluppo del primo ordine si ottiene una precisione maggiore?

A costo di sembrare Capitan Ovvio, rispondo: perchè questa è la sostanza del teorema di Taylor...

"LelleL":Sapete consigliarmi magari qualche lettura sull'argomento?

Il tuo libro di Analisi, innanzitutto.

[Sk_Anonymous]

"LelleL":I miei saluti a tutti, ho una domanda da porre che spero di riuscire a esprimere in modo comprensibile. Forse è una domanda stupida. Comunque procedo:
quando mi è stato spiegato il polinomio di Taylor e la sua funzione, per aiutare gli studenti a cogliere istantaneamente lo spirito della cosa, il professore all'inizio si è fermato ad uno sviluppo del primo ordine, mostrandoci anche graficamente che in un intorno del punto scelto la retta tangente riusciva ad approssimare la funzione con un errore molto piccolo. Poi ha detto che andando avanti con lo sviluppo l'approssimazione della funzione sarebbe stata più accurata. La mia domanda riguarda proprio gli sviluppi successivi: perché sommando le derivate successive (moltiplicate per le rispettive potenze) allo sviluppo del primo ordine si ottiene una precisione maggiore?
Sapete consigliarmi magari qualche lettura sull'argomento?
Non so se il mio quesito è ragionevole, comunque questo è quanto.
Ringrazio in anticipo coloro che posteranno una risposta.

Ciao, allora, provo a risponderti. Innanzitutto è necessario riflettere bene sul significato geometrico di derivata seconda, e, in generale, di derivate successive alla prima. Mentre graficamente la derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di una funzione in un determinato punto (quindi indica la pendenza della curva relativa ad un iincremento infinitesimo $dx$), la derivata seconda indica la "velocità di variazione" di tale pendenza, e dunque indica lo scostamento del grafico di una funzione dall'andamento rettilineo. Una funzione che ha derivata seconda, è una funzione il cui grafico non è una retta, cioè una funzione che non dipende linearmente da una variabile, ma più che linearmente, per cui il grafico è caratterizzato, in parole povere, da delle curvature. Da ciò puoi dedurre che approssimare una funzione in un punto con una funzione lineare, cioè con una funzione che ammette soltanto derivata prima, non è un approssimazione molto efficace, o comunque è un'approssimazione sufficiente solo se stai lavorando molto vicino al punto che stai considerando. Questo perchè una funzione lineare, cioè il cui grafico è una retta, non "riesce a seguire fedelmente le curvature di una funzione abbastanza complessa", cioè non riesce ad approssimare correttamente la funzione, se non in un intorno molto piccolo. Tali approssimazioni, però, spesso risultano insufficienti. Allora, l'osservazione che fecero Taylor e McLaurin è che, se si aggiungono al monomio approssimante derivate successive, il polinomio che ne deriva, essendo come ti ho detto dotato di grado sicuramente superiore al primo (perchè se tale polinomio ha derivate successive alla prima significa che esso deve avere un grado sicuramente maggiore di uno), riesce ad adattarsi sempre meglio alla funzione da approssimare: il grafico del polinomio approssimante, infatti, poichè gli sono state aggiunte derivate, ha acquisito un grado maggiore e dunque non è più una retta, che riesce ad approssimare bene soltanto in un intorno piccolissimo del punto, ma diventa una funzione più "sofisticata" che riesce a seguire abbastanza fedelmente la funzione di partenza in un intorno di $x_0$ sicuramente maggiore. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Ciao.

P.S= il tuo quesito è una domanda più che ragionevole: anche io quando ho studiato questi concetti, mi ci sono messo a riflettere e sono giunto alle conclusioni di cui sopra.

[LelleL1]

"Soscia":
Ciao, allora, provo a risponderti. Innanzitutto è necessario riflettere bene sul significato geometrico di derivata seconda, e, in generale, di derivate successive alla prima. Mentre graficamente la derivata prima è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di una funzione in un determinato punto (quindi indica la pendenza della curva relativa ad un iincremento infinitesimo $dx$), la derivata seconda indica la "velocità di variazione" di tale pendenza, e dunque indica lo scostamento del grafico di una funzione dall'andamento rettilineo. Una funzione che ha derivata seconda, è una funzione il cui grafico non è una retta, cioè una funzione che non dipende linearmente da una variabile, ma più che linearmente, per cui il grafico è caratterizzato, in parole povere, da delle curvature. Da ciò puoi dedurre che approssimare una funzione in un punto con una funzione lineare, cioè con una funzione che ammette soltanto derivata prima, non è un approssimazione molto efficace, o comunque è un'approssimazione sufficiente solo se stai lavorando molto vicino al punto che stai considerando. Questo perchè una funzione lineare, cioè il cui grafico è una retta, non "riesce a seguire fedelmente le curvature di una funzione abbastanza complessa", cioè non riesce ad approssimare correttamente la funzione, se non in un intorno molto piccolo. Tali approssimazioni, però, spesso risultano insufficienti. Allora, l'osservazione che fecero Taylor e McLaurin è che, se si aggiungono al monomio approssimante derivate successive, il polinomio che ne deriva, essendo come ti ho detto dotato di grado sicuramente superiore al primo (perchè se tale polinomio ha derivate successive alla prima significa che esso deve avere un grado sicuramente maggiore di uno), riesce ad adattarsi sempre meglio alla funzione da approssimare: il grafico del polinomio approssimante, infatti, poichè gli sono state aggiunte derivate, ha acquisito un grado maggiore e dunque non è più una retta, che riesce ad approssimare bene soltanto in un intorno piccolissimo del punto, ma diventa una funzione più "sofisticata" che riesce a seguire abbastanza fedelmente la funzione di partenza in un intorno di $x_0$ sicuramente maggiore. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Ciao.

P.S= il tuo quesito è una domanda più che ragionevole: anche io quando ho studiato questi concetti, mi ci sono messo a riflettere e sono giunto alle conclusioni di cui sopra.

Soscia sei stato chiarissimo ed hai centrato il mio problema maggiore, cioè che ancora non ho compreso bene il concetto ed il significato di derivata seconda e delle derivate successive.
Grazie.

[dissonance]

Su batmath se ne parla in modo molto chiaro:

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... approx.htm