Taylor

[matematicoestinto]

Potete spiegarmi come si fa questo esercizio?

Sia $f(x)=ln(1+x)$. Provare che $f^(n)(x)=(-1)^(n+1)((n-1)!)/(1+x)^n AAx>-1$

Scrivere quindi la formula di Tayolor di $f$

Grazie.. a presto

[Camillo]

La formula si applica per $ x > - 1 $ .

Basta calcolare le prime derivate :

$y' = 1/(1+x) = (1+x)^(-1) $
$y'' = - 1/(1+x)^2 = -(1+x)^(-2) $
$y''' = 2/(1+x)^3 =2*(1+x)^(-3) $
per vedere che il segno si alterna tra $ + $ e $ - $ ed esattamente quando la derivata è di ordine dispari, il segno è $ + $; e quindi basterà indicarlo così : $(-1)^(n+1) $
Inoltre a denominatore si ha $(1+x)^n $ e a numeratore : $(n-1) ! $ .
Quindi $ f^(n) (x) = (-1)^(n+1) *((n-1)!)/(1+x)^n $, $ AAx > -1 $ .

[matematicoestinto]

Ma questa non credo sia una dimostrazione.. Come posso fare a dimostrarlo per induzione?

[Camillo]

Dimostrazione
La formula è valida per $n=1 $ ,$n=2 $ coem si verifica facilemnte.
Assumo che sia valida per $ n = n $ cioè che si abbia : $ f^(n)(x)=(-1)^(n+1)*((n-1)!)/(1+x)^n $.
Se adesso , partendo da questa formula riesco a dimostrare che è valida anche nel caso $n rarr n+1 $ allora vale $AA n $.
Derivo e ottengo :
$f^(n+1)(x) = (-1)^(n+1)*((n-1)!)*(-n)*(1+x)^(-n-1) = (-1)^(n+2)*(n!)/(1+x)^(n+1)$.
QVD.

[matematicoestinto]

Grazie mille