Tangente della funzione

[Satiro]

Rieccomi,vista la diversa natura del problema ho pensato di fare un altro topic,credo di aver fatto sempre sbagliato.Dovrei calcolare la tangente della funzione $y=(5x-1)/(1-x)^2$ nel punto di ascissa $x=0$ .Vi spiego come procedo normalmente.Per prima cosa calcolo la derivata di f(x),che in questo caso risulta $ (-5x^2+2x+3)/(1+x^2-2x)^2 $ a questo punto,per calcolare m sostituisco x con 0 ad f'(x ) di conseguenza ottengo che $m=3$ dopo di che,per calcolare q mi è stato detto di prendere la funzione originaria,ovvero, $y=(5x-1)/(1-x)^2$ e sostituire sempre zero alla x.Quindi alla fine di tutto mi risulta $y=mx+q$ -> $y=3x-1$ e $P(3;-1)$ detto tra noi non ho ancora capito cosa sia P

[Lorin1]

Allora dalla definizione geometrica di derivata prima: il coefficiente angolare della retta tangenete nel punto $P(x_o,f(x_o))$.

Da questa definizione ti puoi ricavare tranquillamente l'equazione delal retta tangente al grafico nel punto P. Dalla geometria analitica poi, sai che se hai un punto generico e vuoi calcolarne la retta che passa per questo punto devi sfruttare l'equazione:

$y-y_o=m(x-x_o)$ con $x_o,y_o$ coordinate del punto P e $m$ coefficiente angolare della retta tangente. Quindi se consideri $y_o=f(x_o)$ e $m=f'(x_o)$ allora ottieni:

$y-f(x_o)=f'(x_o)(x-x_o)$ che è la retta tangente al grafico in un generico punto P di coordinate $(x_o,f(x_o))$

[Satiro]

mmmm..potresti,gentilmente,farmi un esempio con i dati che ho postato? ovvero $(5x-1)/(1-x)^2$

[Lorin1]

Nel tuo caso abbiamo:

$f(x)= (5x-1)/(1-x^2)$

dobbiamo calcolare l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa 0, quindi nel punto $P(0,-1)$ con $f(0)=-1$.

$f'(x)=(5x^2-2x+5)/(1-x^2)^2 => f'(0)=5$

quindi, visto che $y=f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)$ è la retta tangente in un punto P generico, allora nel nostro caso avremo:

$y=f(0)+f'(0)(x-0) = y=-1+5x$

capito?

[Satiro]

si + o - ho capito però il risultato è sbagliato O_o qui,da quel che leggo dovrebbe risultare y=3x+1

[Lorin1]

i passaggi che ho svolto sono giusti, ora non so....riscrivimi la traccia magari c'è qualche errore nel testo...

[Satiro]

sorprendente,anche col tuo metodo torna il risultato che ho postato all'inizio, ovvero y=3x-1 O_o, dalla derivazione a me è risultato $y'=(-5x^2+2x+3)/(1+x^2-2x)^2$ perciò $f'(0)= 3$ e $f(0)=-1$ quindi ho fatto, $y=f(0) +f'(0)(x-0)$ --> $-1+3(x-0)=>y=-1+3x)$ corretto?,nel caso,se controllate,è venuta identica alla prima che ho postato..forse ho capito..mi ha spiegato la cosa con una specie di scorciatoia,diciamo saltando il passaggio dove si usa l'ultima formula,ho sbagliato a calcolare il punto,quello si,però,in effetti, basta,tenendo conto della funzione $y=mx+q$ la m la si calcola,giustamente facendo la derivata mentre la q sarà sempre il risultato di f(0)

[Lorin1]

se la funzione è $f(x)=(5x-1)/(1-x^2) $ la derivata che hai fatto tu è sbagliata

[Satiro]

guarda che è $(5x-1)/(1-x)^2$

[Lorin1]

Forse hai sbagliato a scrivere...

[Satiro]

pardon allora devo aver scritto sbagliato all'inizio,non ho riportato la parentesi.

[Lorin1]

Riporta bene la funzione di cui vuoi calcolare la tangente altrimenti le nostre parole diventano aria

[Satiro]

$y=(5x-1)/(1-x)^2$ questa è quella corretta

[Lorin1]

ok allora $f'(x)=(5(1-x)^2+2(5x-1)(1-x))/(1-x)^4 => ((1-x)[5(1-x)+2(5x-1)])/(1-x)^4 => (5x+3)/(1-x)^3$

eccola la derivata...controlla bene i calcoli che hai sbagliato qualcosa. Detto questo devi solo calcolare $f(0)$ e $f'(0)$ e ricavi la retta tangente

[Satiro]

la differenza è che io ho sviluppato il quadrato $(1-x)^2$ almeno ti risparmi una derivata composta no?l'ho sviluppata sia per evitare di mettere un denominatore di quarto grado,sia per la derivata,almeno..a me è stato insegnato così..il risultato coincide,comunque grazie mille per la disponibilità!

[Lorin1]

Si ti risparmi una derivata composta ma ti vai a complicare con passaggi più lunghi e ti precludi anche la possibilità di semplificare con semplicità.

Comunque col tempo raffinerai la tua tecnica, l'importante è che ha risolto il tuo dubbio