Tangente ad una curva (sistema dinamico)
Esercizio (ha a che fare con i sistemi dinamici):
Determinare tutte le curve $X:RR to RR^2$ la cui tangente nel punto P forma un angolo costante $omega$ con OP.
Soluzione:
Se in un punto $P=OX(t)$ la tangente alla curva $dotX(t)$ è proporzionale ad un vettore ottenuto ruotando OP dell'angolo orientato $omega$ , la curva $t mapsto X(t)$ è soluzione del sistema dinamico:
$dotX(t)=AX$ con $A=alpha((cos omega,-sen omega),(sen omega,cos omega))$, $alpha in (0,+infty)$, $omega in [-pi,pi) ...
Domanda: che diavolo di ragionamento ha fatto? $dotX(t)$ che cosa rappresenta per lui? Per me è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto t. Qui la tangente viene trattata come una grandezza confrontabile con il vettore che definisce il punto della curva. Forse è semplice ma ho bisogno di un aiutino, 'azie!
Nota: ho ricopiato pari-pari traccia e soluzione.
A.
Determinare tutte le curve $X:RR to RR^2$ la cui tangente nel punto P forma un angolo costante $omega$ con OP.
Soluzione:
Se in un punto $P=OX(t)$ la tangente alla curva $dotX(t)$ è proporzionale ad un vettore ottenuto ruotando OP dell'angolo orientato $omega$ , la curva $t mapsto X(t)$ è soluzione del sistema dinamico:
$dotX(t)=AX$ con $A=alpha((cos omega,-sen omega),(sen omega,cos omega))$, $alpha in (0,+infty)$, $omega in [-pi,pi) ...
Domanda: che diavolo di ragionamento ha fatto? $dotX(t)$ che cosa rappresenta per lui? Per me è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto t. Qui la tangente viene trattata come una grandezza confrontabile con il vettore che definisce il punto della curva. Forse è semplice ma ho bisogno di un aiutino, 'azie!
Nota: ho ricopiato pari-pari traccia e soluzione.
A.
Risposte
"Megan00b":
Domanda: che diavolo di ragionamento ha fatto? $dotX(t)$ che cosa rappresenta per lui?
Per me è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto t. Qui la tangente viene trattata come una grandezza confrontabile con il vettore che definisce il punto della curva. Forse è semplice ma ho bisogno di un aiutino, 'azie!
Nota: ho ricopiato pari-pari traccia e soluzione.
A.
Il coefficiente angolare di $X(t)$ in $t_0$ è $\dotX(t_0)$, mentre $\dot(X(t))$ ovvero la funzione nel tempo è la velocità tangenziale del moto $X(t)$. Fare in modo che la tangente formi un angolo costante implica proprio che il vettore velocità (rappresentato da $\dot\vecX(t)$) sia fatto come descritto nella tua soluzione.
Ti ringrazio per la risposta ma temo di non aver capito.
Per me quello è il coefficiente ang. della retta tangente alla curva X(t) in $X(t_0)$.
Non ho capito la differenza tra $\dotX(t_0)$ e $\dot(X(t))$ al di là dell'argomento. Cioè in entrambi i casi si tratta della stessa funzione, cioè il coefficiente angolare della retta tangente che poi si interpreta come velocità.
Poi il problema rimane sempre quello: nella traccia mi si richiede che la retta tangente formi sempre lo stesso angolo con il <> in tutti i punti e nella soluzione la tangente (che nella traccia era una retta) diventa magicamente il vettore $dotX$. Ho l'impressione che mi stia perdendo nella notazione, ma davvero non mi torna.
A.
Il coefficiente angolare di $X(t)$ in $t_0$ è $\dotX(t_0)$
Per me quello è il coefficiente ang. della retta tangente alla curva X(t) in $X(t_0)$.
Non ho capito la differenza tra $\dotX(t_0)$ e $\dot(X(t))$ al di là dell'argomento. Cioè in entrambi i casi si tratta della stessa funzione, cioè il coefficiente angolare della retta tangente che poi si interpreta come velocità.
Poi il problema rimane sempre quello: nella traccia mi si richiede che la retta tangente formi sempre lo stesso angolo con il <
A.
no aspetta Megan00b fai un passo indietro... $X(t)$ è una funzione da $R$ in $R^2$ in componenti $X=(x_1(t),x_2(t))$...
per $\dot(X)$ si intende la derivata (il differenziale) della funzione rispetto a t, ovvero anche questa una funzione da R in R^2... in componenti $(d/(dt)(x_1),d/dt(x_2))$. Il vettore ovviamente appartiene allo spazio tangente....
quindi $\dot(X)$ una volta calcolato in $t$ non è un coefficiente angolare, ma un vettore a due componenti, come dice LordK.... ed è per questo che puoi confrontarlo con il vettore OP....
ciao ciao
per $\dot(X)$ si intende la derivata (il differenziale) della funzione rispetto a t, ovvero anche questa una funzione da R in R^2... in componenti $(d/(dt)(x_1),d/dt(x_2))$. Il vettore ovviamente appartiene allo spazio tangente....
quindi $\dot(X)$ una volta calcolato in $t$ non è un coefficiente angolare, ma un vettore a due componenti, come dice LordK.... ed è per questo che puoi confrontarlo con il vettore OP....
ciao ciao
Grazie anche a te. Considerando questo pezzo:
capisco che l'inghippo è che questo gentile signore sta chiamando "tangente" a X nel punto $P=X(t_0)$ il vettore $dotX(t_0)$ invece della retta tangente. E' così?
per $dotX$. si intende la derivata (il differenziale) della funzione rispetto a t,...
capisco che l'inghippo è che questo gentile signore sta chiamando "tangente" a X nel punto $P=X(t_0)$ il vettore $dotX(t_0)$ invece della retta tangente. E' così?
Ok. Ci sono arrivato. E' semplice. Quando uno si incaponisce su una cazzata... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie ancora a entrambi.
Grazie ancora a entrambi.
beh... prego 
... chiarire i termini è importante... qui poi la cosa era completamente indipendente dalla natura 'dinamica' dell'esercizio.... sulla quale non so nulla....
così per curiosità $\alpha$ sarà tipo una variabile stocastica?...
... chiarire i termini è importante... qui poi la cosa era completamente indipendente dalla natura 'dinamica' dell'esercizio.... sulla quale non so nulla.... così per curiosità $\alpha$ sarà tipo una variabile stocastica?...
Un momento un momento. A proposito di alpha c'è un'altra cosa che non mi torna: la soluzione proposta dà per scontato che alpha sia costante. E questo non mi convince. Cioè io l'ho messa così: la tangente (cioè il vettore $dotX$) deve mantenere un angolo costante con il raggio vettore X(t). Allora l'ho tradotto come: ruoto il raggio vettore di omega. Allora i due vettori devono avere stessi direzione e verso. Cioè essere uno multiplo dell'altro in senso positivo. Da cui quell'alpha, che però con i dati che ho non è necessariamente costante. Ancora in altre parole la matrice di rotazione (quella unitaria) già risponde al requisito che X e $dotX$ formino angolo costante. Perchè allora viene considerato tale?
Aiuto please!
Ps. No non centrano variabili stocastiche, è un maledetto corso di fisica matematica.
Aiuto please!
Ps. No non centrano variabili stocastiche, è un maledetto corso di fisica matematica.
guarda non saprei.... è per quello che ti ho chiesto cosa è $\alpha$....
ora mi viene in mente una cosa però... se a noi interessa solo il sostegno delle curve possiamo scegliere una parametrizzazione a nostro piacimento (tipo quando si sceglie la lunghezza d'arco)....
però in realtà vedendolo così se $\alpha$ fosse costante.... non avrebbe senso distinguere $\alpha$ diversi ma basterebbe $\alpha=1$ credo: mi pare molto facile riscalare di un fattore complessivo la velocità di percorrimento ti una curva (basta mandare t in kt mi sembra)... visto che non è stata fatta questa semplificazione ulteriore, propenderei per pensare che questa non è la spiegazione...
mmm.... boh forse si sono solo confusi quelli dell'esercizio...
ora mi viene in mente una cosa però... se a noi interessa solo il sostegno delle curve possiamo scegliere una parametrizzazione a nostro piacimento (tipo quando si sceglie la lunghezza d'arco)....
però in realtà vedendolo così se $\alpha$ fosse costante.... non avrebbe senso distinguere $\alpha$ diversi ma basterebbe $\alpha=1$ credo: mi pare molto facile riscalare di un fattore complessivo la velocità di percorrimento ti una curva (basta mandare t in kt mi sembra)... visto che non è stata fatta questa semplificazione ulteriore, propenderei per pensare che questa non è la spiegazione...
mmm.... boh forse si sono solo confusi quelli dell'esercizio...
Tutto questo mi ricorda tristemenente il corso di fisica del I anno in cui la soluzione degli esercizi era affidata ad un puro procedimento cabalistico.
Le soluzioni del sistema dinamico che risulta sono delle spirali con fuoco in 0 (eccetto due casi particolari in cui sono circonferenze).
Ora però tornando alla traccia non mi ritrovo, perchè ad esempio: una retta è una curva, il suo raggio vettore ha direzione e verso costante e così anche il vettore velocità. Ma non è tra le soluzioni di quel sistema dinamico. Mi pare tanto un esercizio raffazzonato. Penso che lo lascerò perdere.
Le soluzioni del sistema dinamico che risulta sono delle spirali con fuoco in 0 (eccetto due casi particolari in cui sono circonferenze).
Ora però tornando alla traccia non mi ritrovo, perchè ad esempio: una retta è una curva, il suo raggio vettore ha direzione e verso costante e così anche il vettore velocità. Ma non è tra le soluzioni di quel sistema dinamico. Mi pare tanto un esercizio raffazzonato. Penso che lo lascerò perdere.
no va bè se per retta intendi quella passante per l'origine quella è soluzione solo per omega=0, mentre le altre non sono mai soluzioni.... anzi in realtà è soluzione di sicuro la semiretta (non si sa bene quel che si vuole succede nell'origine)... for inspection: $x(t)=(e^t,e^t)$ è soluzione del sistema dinamico con $a=1$... quindi se non la trovi è perchè hai scartato qualcosa, credo...
cmq sono d'accordo che non è un problema su cui fissarsi
anyway pensavo che a fisica matematica perlomeno si parlasse di cose inerenti la fisica...
cmq sono d'accordo che non è un problema su cui fissarsi
anyway pensavo che a fisica matematica perlomeno si parlasse di cose inerenti la fisica...
Beh un'interpetazione fisica ci sarà sicuramente, ma a quanto ne so fisica matematica fortunatamente non si occupa di fisica (palline che rotolano, onde e roba simile) ma delle equazioni che poi i fisici usano (male) per studiare quei fenomeni. Questo a quanto ne so io.
Quanto al problema, a parte che avevo sbagliato nel dire retta invece di semiretta perchè nel mio grafico avevo mentalmente unito due orbite distinte, levami una curiosità, forse sono io che mi sono rincitrullito ma $X(t)=(e^t,e^t)$ non è forse una semiretta?
Cioè per ogni t la prima componente x è uguale alla seconda y dunque x=y che mi pare una semiretta (al di là della parametrizzazione e considerando che entrambe le variabili assumono solo valori positivi). E volendo esagerare la funzione $t mapsto e^t$ definisce un equivalenza tra quella curva e la curva $t mapsto (t,t)$ per t positivo. O sbaglio?
Quanto al problema, a parte che avevo sbagliato nel dire retta invece di semiretta perchè nel mio grafico avevo mentalmente unito due orbite distinte, levami una curiosità, forse sono io che mi sono rincitrullito ma $X(t)=(e^t,e^t)$ non è forse una semiretta?
Cioè per ogni t la prima componente x è uguale alla seconda y dunque x=y che mi pare una semiretta (al di là della parametrizzazione e considerando che entrambe le variabili assumono solo valori positivi). E volendo esagerare la funzione $t mapsto e^t$ definisce un equivalenza tra quella curva e la curva $t mapsto (t,t)$ per t positivo. O sbaglio?
eheheh....... piano con i giudizi affrettati sui fisici perfavore 
... si fa quel che si può.... cmq...
- certo che è una semiretta.... l'ho scritta apposta!.... è che pensavo sostenessi che le soluzioni del sistema dinamico (che non so cosa è, ma l'ho presa come: la soluzione di quell'equazione differenziale) erano solo spirali e visto che non trovavi le rette nelle soluzioni sostenevi che c'era un errore... per questo osservavo:
- 1) Non tutte le rette sono soluzioni, solo quelle per l'origine possono esserlo. Inoltre in realtà non sono rette per l'origine ma sono semirette.
-2) Le semirette che sono soluzione non è che non sono soluzione del sistema di equazioni diffferenziali, come mi sembrava tu affermassi. Esiste una parametrizzazione delle rette per le quali sono soluzione (quella con l'esponenziale!).Faccio notare che non trovi da quel sistema una qualsiasi parametrizzazione delle retta...
In ogni caso, può anche darsi che fissato il sostegno che rispetta le ipotesi... si possa sempre trovare una parametrizzazione della curva fatta in quel modo... anzi in realtà ne sono quasi convinto, prova a vedere un pò te, se hai voglia
... è che non mi spiego però perchè non hanno posto $a=1$....
... si fa quel che si può.... cmq...- certo che è una semiretta.... l'ho scritta apposta!.... è che pensavo sostenessi che le soluzioni del sistema dinamico (che non so cosa è, ma l'ho presa come: la soluzione di quell'equazione differenziale) erano solo spirali e visto che non trovavi le rette nelle soluzioni sostenevi che c'era un errore... per questo osservavo:
- 1) Non tutte le rette sono soluzioni, solo quelle per l'origine possono esserlo. Inoltre in realtà non sono rette per l'origine ma sono semirette.
-2) Le semirette che sono soluzione non è che non sono soluzione del sistema di equazioni diffferenziali, come mi sembrava tu affermassi. Esiste una parametrizzazione delle rette per le quali sono soluzione (quella con l'esponenziale!).Faccio notare che non trovi da quel sistema una qualsiasi parametrizzazione delle retta...
In ogni caso, può anche darsi che fissato il sostegno che rispetta le ipotesi... si possa sempre trovare una parametrizzazione della curva fatta in quel modo... anzi in realtà ne sono quasi convinto, prova a vedere un pò te, se hai voglia
... è che non mi spiego però perchè non hanno posto $a=1$....
Ok. Sarà la mania precisina da matematico ma per me la traccia esprime condizioni geometriche sul supporto delle curve incognite e dunque la soluzione proposta non esprime tutte le soluzioni. Qundi da matematico dico che è sbagliata. Aggiungi poi che nello svolgimento che non ho postato c'erano abbondanti errori di conto che poi magicamente riscomparivano e capisci perchè io sia ancora una volta furioso con (certi!) fisici che usano la matematica in modo pedestre aspettandosi che uno ci capisca qualcosa di quel che vogliono dire. Ti ringrazio per l'aiuto in ogni caso. Ciao!
A.
A.
"Megan00b":
Ok. Sarà la mania precisina da matematico ma per me la traccia esprime condizioni geometriche sul supporto delle curve incognite e dunque la soluzione proposta non esprime tutte le soluzioni. Qundi da matematico dico che è sbagliata.
beh ti capisco....
.... in effetti è abbastanza frustrante in genere studiare su qualcosa scritto da un fisico sono d'accordo! 
cmq (e qui chiudo visto che non ho tempo per approfondire la questione e se nessuno di noi si mette a lavorare con qualche formula rimangono discorsi campati per aria
...). il fatto che le soluzioni di quell'equazione differenziale non parametrizzino i sostegni di TUTTE le curve che rispettano quelle condizioni geometriche mi pare un fatto non evidente... Quel che voglio dire è che se prendi i due insiemi $A$ e $B$, di cui:A=[sostegni delle curve parametrizzate da una soluzione del sistema di equazioni differenziali scritto]
B=[sostegni delle curve C 'abbastanza' regolari che rispettano quella condizione geometrica]
ho lasciato il termine 'abbastanza' da definire...
è ovvio che A è incluso in B. Non è ovvio il contrario. Ma il fatto che non sia ovvio non è una prova della sua falsità, magari basta lavorarci un pò sopra per ottenere l'altra inclusione e quindi l'uguaglianz dei due insiemi....
spero tu sia più fortunato con i prox problemai di fisica matematica
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