Tangente a una curva

[massimino's]

CIao,

vorrei chierire graficamente il perché dell'affermazione del mio libro: "Il vettoreγ′(t) è chiamato vettore tangente alla curva in γ(t) ed è tangente alla curva in quel punto"

Ho appena studiato il limite e la derivazione in più variabili e valori in $R^n$ e ho visto che il limite corrisponde al limite componende per componente (quindi per la curva $dotx=(x'(t),y'(t),z'(t))$ vista come funzione in una variabile a valori in R3), però non capisco come si dimostri che è tangente a livello grafico. Leggo in ogni libro essere dato per assodato, ma non riscoa dimostrarlo/vederlo .

[Kanal]

Ciao Massimino

non è dato per assodato, che il vettore le cui componenti sono le derivate rispetto al tempo che hai scritto :

$(x'(t),y'(t),z'(t)) $

sia "tangente a livello grafico” alla curva , come tu dici. Per fartelo vedere, ti metto delle pagine di un libro semplice e chiaro, che si usava anni fa ; cosí evito di scrivere per un’ora. Come vedi dalla figura , si parametrizza la curva (per ipotesi regolare) con l’ascissa curvilinea $s$ contata da una certa origine $O_0$ sulla curva; quindi la velocità scalare istantanea è data da $v= (ds)/(dt) $ , differente da punto a punto. Ma la velocità è una grandezza vettoriale, oltre al modulo ci vuole un versore. Come è questo versore? Guarda la figura. Il limite del rapporto $(vec(Deltar))/(Deltas) $ al tendere di $Deltas $ a $0$ è un vettore di modulo unitario, tangente alla curva in A, cioè proprio $ vecu_T$, quello che stiamo cercando . Perciò puoi dire che :

$vecv = vecu_T *(ds)/(dt) = v * vecu_T$

che è tangente alla curva in A. Nelle pagine è spiegato tutto in dettaglio, molto meglio di quanto sappia fare io.

Ovviamente il tutto si può rendere molto più formale dal punto di vista matematico. Ma credo che tu voglia avere una spiegazione visivamente semplice, e questa lo è, ad un livello fisico elementare.

Se qualcosa non è chiaro, chiedi pure.

[ot]. Mi raccomando, se viene fuori qualche “leoncino da tastiera” a dare fastidio, tu ignoralo, come farò io[/ot]

[massimino's]

Ti ringrazio molto per la spiegazione che è molto chiara.

Mi piacerebbe tuttavia, ora che ho ben compreso la parte visiva, passare al formalismo analitico. Insomma, in analisi come lo potrei mostrare questo coportamento (dal punto di vista più fisico leggendoti mi ci ritrovo bene ora )?

Perché il miolibro di analisi glissa totalmente dandolo come un fatto ovvio, dice:è tangente. Ok grazie

[Kanal]

Avevi chiesto una spiegazione visiva, e penso di aver trovato le pagine giuste per questo. Magari qualche matematico/a potrebbe darti la spiegazione analitica. Ma possibile che il tuo libro di analisi sia così semplicistico? Lasciami un po’ di tempo tuttavia, se nessuno interviene, ora sto uscendo.
Vedrò che cosa posso aggiungere.

[massimino's]

Forse sono io a non averlo capito appieno:

Comunque sì avevo chiesto la spiegazione visiva, però siccome sono un po' tonto vorrei vedere anche un approccio più analitico ora che con la tua spiegazione mi è più chiara la situazione
Nel senso, la tua risposta era quel che cercavo, però poi la domanda si è ampliata avendo capito quel che chiedevo.

Ti ringrazio per il tuo aiuto

[Kanal]

Ho letto la pagina del tuo libro ; non è male, dai...ma non è che sei tonto, ognuno di noi ha tempi diversi per capire concetti nuovi e assimilarli. Non sono concetti semplici.
Ho fatto una ricerca, tra i miei vecchi libri ho un bellissimo testo di “Calcolo” scritto nel 1993 da Franco Conti, compianto professore della Normale di Pisa. Ho scannerizzato queste due pagine, forse sono più chiare :

ma il concetto di fondo è sempre lo stesso.

[massimino's]

Sei molto gentile!