Tangente

[marco.ceccarelli]

Buonasera,

l'esercizio è il seguente: determinare l'equazione cartesiana della tangente alla spirale logaritmica $alpha:{(x=e^tcost),(y=e^tsint):},t in RR$ nei punti corrispondenti ai valori $t=2kpi,k in ZZ$ del parametro.

$alpha'(t)=((e^t(cost-sint)),(e^t(cost+sint)))$

Tangente: $r(bart):=alpha(bart)+talpha'(bart)$.

$alpha(2kpi)=((e^(2kpi)),(0)), alpha'(2kpi)=((e^(2kpi)),(e^(2kpi))) rarr r(2kpi)=(((1+t)e^(2kpi)),(e^(2kpi)))$

Ora, come passo dall'equazione parametrica a quella cartesiana? Mi verrebbe da dire che, poiché $y$ è indipendente da $t$, si abbia che $r: y=e^(2kpi)$. Ma la traccia della curva è la seguente e si vede come, ad esempio, in $alpha(0)=((1),(0))$ la tangente non sia $r:y=1$.



Grazie.

[donald_zeka]

$x=(1+2kpi)y$

[marco.ceccarelli]

Grazie per la risposta. L'equazione parametrica della tangente ad esempio nel punto $alpha(0)=((1),(0))$ è $r(t)=((1+t),(1))$, cioè per me $r:y=1$. Secondo me non può essere $r: y=x/(1+2kpi)$ perché in $alpha(0)$, cioè se $k=0$, si avrebbe $r: y=x$: non corrisponde a quanto si evince dal grafico. Grazie.

[donald_zeka]

Mmh hai sbagliato dei calcoli allora.

$vecr(t)=alpha(t_0)+talpha'(t_0)$ che porta a:

$x=e^(2kpi)+te^(2kpi)$
$y=te^(2kpi)$

da cui:

$y=x-e^(2kpi)$

[marco.ceccarelli]

E' vero, grazie.