T. di WEIERSTRASS per f def su insiemi con punti isolati

[Ivanoe1]

Scusate Ragazzi, Ho un dubbio sul teorema di Waiestrass in spazi euclidei R^n. Vorrei sapere se un insieme X che ha dei punti isolati può essere considerato compatto e quindi una f(X) continua su X ammette per Waistrass massimi e minimi oppure no.

Io credo di no perchè nella dimostrazione che ho io per dimostrare che F(X) è compatto data l'hp che X è compatto usa la definizione di funzione continua del limite su punti non isolati, quindi per i punti isolati credo che non si possa dimostrare che f(X) è compatto... Che ne dite?

Grazie.

[albertobosia]

credo di sì, perché in \(\mathbb R^n\) "compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
e poi mi sembra naturale che una funzione su dei punti isolati ammetta massimi e minimi...

ps: è weierstrass

[Ivanoe1]

Sicuramente ammette massimi e minimi ma essendo weierstrass una condizione solo sufficiente e non necessaria allora la funzione può ammettere max e min pur non essendo applicabile il teorema di W.