[Svolto]Integrale curvilineo di una forma differenziale

[GenKs1]

Calcolare $\int_\gamma (\frac{2xcosx}{2+x^2+x^4} +xy)dx + (sinylog(2+y^2+y^4))dy$, dove $\gamma$ è l'ellisse di equazione $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1 $, orientata nel verso orario (suggerimento: si "spezzi" la f.d. in modo opportuno).

Avendo l'esercizio già "svolto", c'è un particolare passaggio che non mi è chiaro.

$\alpha = (sinylog(2+y^2+y^4))$
$\beta = \frac{2xcosx}{2+x^2+x^4}$

$\int_\gamma \betadx + \alphady + \int_\gamma xydx + \0dy$

Ci sono scritte queste testuali parole:

"facendo le derivate miste verifichiamo che sia una forma esatta" - ok qui non ci sono problemi

$F_y(\beta) = 0$
$F_x(\alpha) = 0$

essendo uguali è una f.d. esatta.

"Siccome siamo in R^2 (aperto stellato) -> Forma chiusa, per il teo. di integrazione delle forme differenziali esatte":

$\int_\gamma \betadx + \alphady = 0$

O.o Non mi pare dica una cosa del genere... Se è corretto ciò che si dice e si fa si prosegue svolgendo $\int_\gamma xydx + 0dy$ giusto?

[GenKs1]

TeM sei la chiarezza fatta persona! Grazie Mi era sfuggito che stessimo calcolando l'integrale curvilineo su una curva chiusa.

Un ultimo quesito, sempre inerente l'esercizio.

$\gamma :{x = cos t, y = 2sint} t in [0,2\pi]$

$\int_\gamma xydx + 0dy = \int_0^(2\pi) -2costsin^2t = -2[\frac{sin^3t}{3}]_0^(2\pi) = 0 $

Right?