Svolgimento limite

[WhiteBaron13]

Salve, ho qualche problema con la comprensione dello svolgimento di questo limite.
lim (x-->0) (sinx-x+x^3)/(x^3)
Il problema è che in base a come viene svolto mi da due risultati differenti.
5/6 se uso De L'Hopital
1 se uso la stima di sinx=x per x-->0

[Noisemaker]

la sima al primo ordine, cioeè $\sinx ~ x,$ non è sufficiente per calcolare quel limite. O sviluppi il seno fino al terzo ordine, se l'hai fatto, oppure utilizzi De L'Hopital.

[Bremen000]

Abbiamo:

Usando lo sviluppo di Taylor:
$
\lim_{x \to 0} \frac{\sinx-x+x^3}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x-x^3/6 +o(x^3)-x+x^3}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{5/6x^3+o(x^3)}{x^3} = \frac{5}{6}

$

Con De L'Hopital (che in generale è il male del mondo per i limiti), lo porto avanti fino a che non c'è più forma di indeterminazione:

$
\lim_{x \to 0} \frac{\sinx-x+x^3}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx-1+3x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sinx +6x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cosx+6}{6} = 5/6
$

I due risultati coincidono; non ti veniva con la stima di $x$ per $\sinx$ perché quella che tu chiami stima è un troncamento dello sviluppo in serie di Taylor del seno. Diciamo che dopo x ci sono altri termini che possono incidere sul risultato, infatti:

$
\sinx = x -\frac{x^3}{3!} +frac{x^5}{5!} + .... = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}
$

Ciao!

[WhiteBaron13]

Perché un altro metodo era quello di dividere numeratore e denominatore per x ed a quel punto si otteneva (1-1+x^2)/(x^2).
A questo punto si otteneva (x^2)/(x^2) cioè 1.

[francicko]

"WhiteBaron13":Perché un altro metodo era quello di dividere numeratore e denominatore per x ed a quel punto si otteneva (1-1+x^2)/(x^2).
A questo punto si otteneva (x^2)/(x^2) cioè 1.

Quel tipo di operazione non e' lecita appunto perché trascura gli i termini di sviluppo successivi al primo termine in $x $, pertanto in questo caso conduce ad un risultato errato!

[WhiteBaron13]

Ok, perfetto. Il professore diceva che non era lecita perché si doveva svolgere il limite tutto assieme, ma non capisco cosa volesse intendere.