Svolgimento integrale generalizzato

[sam17091]

Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con questo integrale:
$ int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)*(3+2sqrt(x)+x))dx $
faccio la sostituzione $ t^2=x $ e quindi $ dx=2tdt $
vado a sostituire e a fare i calcoli e trovo:
$ 2int1/(t^2+2t+3)dt $
qui nasce il problema... devo scomporre in modo tale da trovare l'arcotangente, ma come faccio a scomporre? Devo riscrivere il denominatore come somma di quadrati giusto? Mi date un aiuto che non ne vengo fuori?

Grazie

[anto_zoolander]

$1/(t^2+2t+3)=1/(t^2+2t+1+2)=1/((t+1)^2+2)=1/(2(((t+1)/sqrt2)^2+1)$

[Camillo]

$t^2+2t+3= (t+1)^2+2 =2[1+((t+1)/sqrt(2))^2 ]$

[sam17091]

Non riesco a capire l'ultimo passaggio. Perchè si raccoglie il 2? Perchè si divide per la radice di 2?

[anto_zoolander]

A te cosa piacerebbe che ci fosse a denominatore? una cosa del tipo $1+f(x)^2$

In particolare mi serve una scrittura del tipo $int(f'(x))/(1+f(x)^2)dx$

ripartiamo da: $2int_(0)^(+infty)1/((t+1)^2+2)dt$

intanto mi manca sicuramente che sia $+1$. Quindi cosa devo fare per far sparire quel $2$? raccoglierlo.

$2int_(0)^(+infty)1/((t+1)^2/2+1)*1/2dt$ ora so che $2=(sqrt2)^2$ e $a^alpha/b^alpha=(a/b)^alpha, forallbne0,forallalphainRR$

$2int_(0)^(+infty)1/(((t+1)/sqrt2)^2+1)*1/2dt$

ora calcolo $d/dx((t+1)/sqrt2)=1/sqrt2$

$2/sqrt2int_(0)^(+infty)1/(((t+1)/sqrt2)^2+1)*1/sqrt2dt=sqrt2[arctan((t+1)/sqrt2)]_(0)^(+infty)$

[sam17091]

Grazie mille