Svolgimento integrale
Ciao ragazzi, sto alle prese con un integrale.. Mi dareste una mano?
$\int \frac {1}{sqrt(1-e^(-x))}$
Come procedo? ho provato per sostituzione ma non credo sia la strada giusta.
Grazie!
$\int \frac {1}{sqrt(1-e^(-x))}$
Come procedo? ho provato per sostituzione ma non credo sia la strada giusta.
Grazie!
Risposte
Fossi in te proverei ( ed ho provato 
) con la sostituzione $ \sqrt(1-e^(-x)) = t $, che ti riporta ad un'integrale notevole ( la soluzione dovrebbe essere arcotangente di qualcosa )
) con la sostituzione $ \sqrt(1-e^(-x)) = t $, che ti riporta ad un'integrale notevole ( la soluzione dovrebbe essere arcotangente di qualcosa )
Ciao e.. wow grazie per la risposta lampo! 
Avevo provato proprio quella sostituzione, ma non mi trovo con la soluzione arctg.. magari sbaglio qualche passaggio algebrico.
perchè alla fine mi trovo con
$ 2 * \int \frac {1}{1-t^2} $
che dovrebbe risultare $ log(\frac {1+t}{1-t}) + c $ (ovviamente poi ci sono le sostituzioni da effettuare)
per essere arcotangente dovrebbe esserci $ 1+t^2 $ al denominatore...
Ti dico i passaggi che ho fatto:
$sqrt(1-e^(-x)) = t$
$1-e^(-x)=t^2$
$ -e^(-x)=t^2-1$
$ e^(-x)=1-t^2$
$ -x=log(1-t^2)$
$ x=-log(1-t^2)$
$ dx=\frac{2t}{1-t^2} $
Grazie mille per la disponibilità
Avevo provato proprio quella sostituzione, ma non mi trovo con la soluzione arctg.. magari sbaglio qualche passaggio algebrico.
perchè alla fine mi trovo con
$ 2 * \int \frac {1}{1-t^2} $
che dovrebbe risultare $ log(\frac {1+t}{1-t}) + c $ (ovviamente poi ci sono le sostituzioni da effettuare)
per essere arcotangente dovrebbe esserci $ 1+t^2 $ al denominatore...
Ti dico i passaggi che ho fatto:
$sqrt(1-e^(-x)) = t$
$1-e^(-x)=t^2$
$ -e^(-x)=t^2-1$
$ e^(-x)=1-t^2$
$ -x=log(1-t^2)$
$ x=-log(1-t^2)$
$ dx=\frac{2t}{1-t^2} $
Grazie mille per la disponibilità
Ahaha ok, scusa, errore mio, ho guardato troppo distrattamente il $t^2$ al denominatore ed ho tratto conclusioni errate, è proprio giusto come dici tu
Ah, quindi è giusto?
Grazie, ma sai, a volte mi capita di non essere sicuro che la soluzione sia effettivamente quella giusta.
Ti ringrazio ancora.
Grazie, ma sai, a volte mi capita di non essere sicuro che la soluzione sia effettivamente quella giusta.
Ti ringrazio ancora.
Scusa perchè viene quel logaritmo?
Io ho sbagliato scrivendo che veniva [tex]log|1-t^2|+c[/tex] Non ho già la derivata al numeratore?
Non capisco..
Oppure scomponi il denominatore e poi fai l'integrazione in fratti?
Io ho sbagliato scrivendo che veniva [tex]log|1-t^2|+c[/tex] Non ho già la derivata al numeratore?
Non capisco..
Oppure scomponi il denominatore e poi fai l'integrazione in fratti?
La derivata al numeratore dovrebbe essere $2t$, io ho solo $2$.
Per svolgere questo integrale devi fattorizzare il denominatore e risolvere utilizzando la regola di integrazione dei fratti.
Per svolgere questo integrale devi fattorizzare il denominatore e risolvere utilizzando la regola di integrazione dei fratti.
La derivata del denominatore è $-2t$, mentre al numeratore c'è $-2$.
Allora non so dove sbaglio....
[tex]2\int \frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1-t)(1+t)}[/tex]
Determino le costanti.....a me vengono entrambe [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
E' giusto?
EDIT: No no forse sbaglio, le costanti vengono [tex]-1[/tex]?
[tex]2\int \frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{(1-t)(1+t)}[/tex]
Determino le costanti.....a me vengono entrambe [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
E' giusto?
EDIT: No no forse sbaglio, le costanti vengono [tex]-1[/tex]?
Hai sbagliato qualche segno. Hai:
$A/(1+t) + B/(1-t) = ((B-A)t + (B+A))/(1-t^2)$. Allora per il principio di identità die polinomi deve risultare:
$A = -B$
$B-A = 1 \to 2B= 1 \to B = 1/2$
$A = -B = -1/2$
$A/(1+t) + B/(1-t) = ((B-A)t + (B+A))/(1-t^2)$. Allora per il principio di identità die polinomi deve risultare:
$A = -B$
$B-A = 1 \to 2B= 1 \to B = 1/2$
$A = -B = -1/2$
No no scusa, ma perchè [tex]B-A=1[/tex]
Dovrebbe essere il coefficiente di primo grado, ma io nella funzione non ho solo una costante?
Non ne ho coefficienti di primo grado.
Il sistema non cambia per la proprietà commutativa avrei:
[tex]\frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}[/tex] e dai miei calcoli ottengo:
[tex]\frac{t(A-B)+A+B}{...}[/tex]
Ora per controllare e applicare il principio dei polinomi io devo partire dal testo iniziale oppure da questo:
[tex]2\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}[/tex]
Intanto vorrei sapere questo perchè sennò non capisco...e comunque per il primo termine dove ho la t non ho a prescindere alcun coefficiente di primo grado.
Quindi pongo [tex]A-B=0[/tex]
Mentre per l'altro dove vi sono le costanti dovrei mettere dato che al numeratore ho 1(deduco che la costante [tex]2[/tex] fuori venga tralasciata)
dovrei scrivere[tex]A+B=1[/tex]
Perchè è scorretto?
Dovrebbe essere il coefficiente di primo grado, ma io nella funzione non ho solo una costante?
Non ne ho coefficienti di primo grado.
Il sistema non cambia per la proprietà commutativa avrei:
[tex]\frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}[/tex] e dai miei calcoli ottengo:
[tex]\frac{t(A-B)+A+B}{...}[/tex]
Ora per controllare e applicare il principio dei polinomi io devo partire dal testo iniziale oppure da questo:
[tex]2\int \frac{1}{(1-t)(1+t)}[/tex]
Intanto vorrei sapere questo perchè sennò non capisco...e comunque per il primo termine dove ho la t non ho a prescindere alcun coefficiente di primo grado.
Quindi pongo [tex]A-B=0[/tex]
Mentre per l'altro dove vi sono le costanti dovrei mettere dato che al numeratore ho 1(deduco che la costante [tex]2[/tex] fuori venga tralasciata)
dovrei scrivere[tex]A+B=1[/tex]
Perchè è scorretto?
Mamma mia sono troppo distratto stamattina. E' al contrario, come dici tu. $B-A=0$, e $B+A = 1$.
La situazione quindi dovrebbe essere opposta a quella predetta prima.
La situazione quindi dovrebbe essere opposta a quella predetta prima.
Ahhh perfetto.....i sudori freddi....
Tranquillo capita, a me i sistemi mi hanno sempre messo ansia.
P.S ultima domanda, quando applico il principio di identità dei polinomi dovevo guarda l'integrale di partenza oppure quello nella forma:
[tex]\int \frac{1}{(1-t)(t+1)}[/tex] ?
A me risulta:
[tex]-\frac{1}{2}log|1-t|+\frac{1}{2}log|1+t|[/tex]
Ma non avevo una costante 2 che moltiplicava l'integrale?
Che fine fa?
Tranquillo capita, a me i sistemi mi hanno sempre messo ansia.
P.S ultima domanda, quando applico il principio di identità dei polinomi dovevo guarda l'integrale di partenza oppure quello nella forma:
[tex]\int \frac{1}{(1-t)(t+1)}[/tex] ?
A me risulta:
[tex]-\frac{1}{2}log|1-t|+\frac{1}{2}log|1+t|[/tex]
Ma non avevo una costante 2 che moltiplicava l'integrale?
Che fine fa?
E' la stessa cosa, quello che conta è il numeratore.
( Che poi è veramente la stessa cosa, visto che $(1-t)(t+1) = 1 - t^2$ )
( Che poi è veramente la stessa cosa, visto che $(1-t)(t+1) = 1 - t^2$ )
Lo moltiplichi. Se infatti rivedi il risultato di alexinfurs, non c'è alcun 1/2 nella soluzione.
Ok....era solo per chiarezza...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo