Svolgimento Integrale

[Peterg11]

Salve ragazzi volevo sapere come effettuare lo svolgimento di questo integrale: ∫x(x^m)(e^-x)/(m!) l'integrale è compreso tra 0 e più infinito, con m numero intero positivo. Ho pensato di usare l'integrale per parti, ma non riesco a svolgerlo. Grazie a chi voglia aiutarmi.

[anto_zoolander]

$1/(m!)int_(0)^(+infty)[x^(m+1)e^(-x)]dx$

Allora vediamo se posso esserti d'aiuto. Penso sia più da calcolare che studiare la convergenza. Io qualche tempo fa su questo integrale ci ho ragionato un po', perché ha delle proprietà graziose.
Vediamo in generale l'integrale indefinito come si muove...

$intx^n e^(-x)dx=-x^n e^(-x)+intnx^(n-1)e^(-x)dx$

puoi provare da solo che si sviluppa così..

$intx^n e^(-x)dx=-e^(-x)[x^n+nx^(n-1)+n(n-1)x^(n-2)+...+n!*x+n!]$

in poche parole c'è come primo termine $-e^(-x)$ che moltiplica la somma di un polinomio dove il primo termine è il monomio iniziale, i successivi sono dati da tutte le derivate del monomio di partenza fino al grado $0$.
C'è anche una formula compatta per questo sviluppo, se ti interessa:

$intx^n e^(-x)dx=-e^(-x)sum_(k=0)^(n)[(n!)/((n-k)!)x^(n-k)]$

dove $(n!)/((n-k)!)x^(n-k)$ è la derivata di ordine $k$ del monomio $x^n$

infatti ad esempio $f^((3))(x)=D[x^6]^((3))=(6!)/(3!)x^3=6*5*4x^3=120x^3$

Per renderlo uguale a quello predente ci basta moltiplicare ambo i membri per $1/(m!)$ e porre $n=m+1$ e calcolarlo nei due estremi di nostro interesse.

$1/(m!)int_(0)^(+infty)[x^(m+1)e^(-x)]dx=[-e^(-x)/(m!)[x^(m+1)+(m+1)x^(m)+...+(m+1)!*x+(m+1)!]]_(0)^(+infty)$

calcolando in $+infty$ ci viene $0$ poiché ogni pezzo del monomio se ne va a uno a uno con l'esponenziale. Mentre in $0$ le $x$ farebbero tutte $0$, tranne l'ultimo termine che è privo di $x$

$1/(m!)int_(0)^(+infty)[x^(m+1)e^(-x)]dx=-1/(m!)[0-(m+1)!]=(m+1)$

quindi in poche parole questo integrale è uguale al grado del monomio di partenza.

[Peterg11]

Grazie per la riposta, mi è tutto chiaro, ho solo una domanda sciocca, mi puoi provare che (m+1)!/m! è uguale a m+1?

[anto_zoolander]

Certo.

$(m+1)! =(m+1)*m*(m-1)*(m-2)*...*2*1=(m+1)*m!$

Dunque $((m+1)!)/(m!)=((m+1)*m!)/(m!)=m+1$

In generale $n! =n*(n-1)!$

[Lo_zio_Tom]

"Peterg1":Grazie per la riposta, mi è tutto chiaro, ho solo una domanda sciocca, mi puoi provare che (m+1)!/m! è uguale a m+1?

ma davvero non riesci a fare una cosa del genere?!?


$(m+1)! =(m+1)\cdotm!$

fine della dimostrazione

[anto_zoolander]

Il $ne$ ha fregato anche te tommik...