Svolgimento di un limite tramite limite notevole

[Husky64]

Buonasera a tutti, avrei bisogno di qualcuno che mi aiuti a capire il seguente limite: $ lim_(x -> +infty)(ln(x+2))/(ln(x+1) $ . Si evince immediatamente che il limite sia pari a 1, tramite le equivalenze asintotiche potremmo dire che per x che tende a più infinito x+2 e x+1 siano pari ad x. Altra strada percorribile applicando il teorema di De l'Hopital, ma la traccia chiede di utilizzare i limiti notevoli e non riesco a sciogliere la forma indeterminata. Ho provato a raccogliere a fattor comune e utilizzare le proprietà dei logaritmi ma non riesco proprio a venirne a capo. Vi sarei grato se poteste darmi un suggerimento.
Grazie.

[Mephlip]

Ciao! Va benissimo la strada del raccoglimento a fattor comune e delle proprietà dei logaritmi, quindi parti da quella. Detto ciò, il suggerimento è il seguente: osserva che
$$\log\left(1+\frac{2}{x}\right)=\frac{\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{2}{x}}\cdot \frac{2}{x}$$
$$\log\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x}$$
Riesci a concludere?

Un paio di consigli di forma: i limiti non si "svolgono", si calcolano. Inoltre, hai giustamente detto che $x+2$ ed $x+1$, tramite stime asintotiche, si comportano come $x$ per $x \to \infty$. Dunque è opportuno dire che sono "asintotici ad $x$", non "pari ad $x$".

[Husky64]

Grazie mille per la risposta ed i consigli, chiedo venia per il modo in cui mi sono espresso, so che in matematica è importantissimo curare i termini quando si parla di un determinato argomento. Tornando all'esercizio adesso dovrei usare il quoziente di due limiti dalle proprietà dell' algebra dei limiti e postare $2/x$ e $1/x$ uguali a t per ricondurre al limite notevole del logaritmo, infine semplificare t su t ottenendo 1 giusto?
L'unico cruccio che ho riguarda l'uso delle proprietà dei logaritmi, cioè praticamente non le abbiamo applicate? Ed anche riguardo il raccoglimento a fattor comune, perché abbiamo scritto l'argomento con x al denominatore e non raccogliendo la x, o anche questo è inteso come raccoglimento?
Chiedo scusa in anticipo per qualche eventuale strafalcione, ci tenevo a capire...

[Mephlip]

Prego! Innanzitutto, non devi scusarti di nulla. Hai detto bene, è solamente per acquisire una certa proprietà di linguaggio in contesto matematico.

Diciamo che ci sei, va benissimo effettuare la sostituzione che hai citato; vorrei solo aggiungere alcune cose. La prima è che abbiamo usate le proprietà dei logaritmi, esattamente come hai detto. Si è effettuato un raccoglimento, ne scrivo uno solo perché il denominatore si tratta allo stesso modo:
$$\log(x+2)=\log\left[x\left(1+\frac{2}{x}\right)\right]=\log x+\log\left(1+\frac{2}{x}\right)$$
si è usata la proprietà dei logaritmi $\log(ab)=\log a + \log b$, valida per ogni $a,b$ tali che $a>0$ e $b>0$.
La seconda è riguardo il quoziente dei limiti: ricordati che quel teorema vale sotto opportune ipotesi (ad esempio, che non ci siano forme indeterminate). Quindi ti consiglio caldamente, quando hai tempo, di scrivere per bene tutti i passaggi qui e vediamo insieme se sono stati usati in maniera scorretta dei teoremi.

La terza è quando dici "semplificare". C'è un errore ricorrente nel calcolo dei limiti, che è quello di "andare al limite a pezzi"; ossia, si sostituisce il valore di alcuni limiti notevoli lasciando il resto della funzione sotto il segno di limite invariato. Ciò è un errore logico, perché i limiti notevoli valgono solo quando effettivamente si fa tendere la variabile al punto di accumulazione; pertanto, una volta mandata la variabile al limite, tutto ciò che dipende da essa sotto il segno di limite va mandato al limite. Mi spiego meglio con un esempio. Se hai
$$\lim_{t \to 0} \frac{t-\sin t}{t^3}$$
è sbagliato scrivere
$$\lim_{t \to 0} \frac{t-\sin t}{t^3}=\lim_{t \to 0} \frac{t-t\frac{\sin t}{t}}{t^3}=\lim_{t \to 0} \frac{t-t\cdot 1}{t^3}=\lim_{t \to 0} \frac{t-t}{t^3}=\lim_{t \to 0} \frac{0}{t^3}=\lim_{t \to 0} 0=0$$
perché si fa tendere a $0$ solamente la $t$ che compariva nel termine $\frac{\sin t}{t}$, quando invece tutte le variabili $t$ sotto il segno di limite devono tendere a $0$ simultaneamente; infatti quel limite non è $0$ e, facendo correttamente i passaggi, ottieni una forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$. Infatti:
$$\lim_{t \to 0} \frac{t-\sin t}{t^3}=\lim_{t \to 0} \frac{t-t\frac{\sin t}{t}}{t^3}=\frac{0-0\cdot 1}{0^3}=\left[\frac{0}{0}\right]$$
dalla quale non puoi concludere nulla, senza ulteriori analisi (infatti quel limite è $1/6$ e, solitamente, si dimostra con gli sviluppi in serie di Taylor, argomento che viene un po' più in là rispetto a quello dei limiti notevoli).
In buona sostanza, ti devi portare tutto dietro fino alla fine e mandare al limite tutto insieme. Magari non l'avresti fatto questo errore, però quel "semplificare" da te scritto mi ha allarmato e ho voluto comunque scrivertelo per scongiurare la possibilità che tu possa portarti dietro una lacuna pericolosa.

[Husky64]

Perdonami non riesco a visualizzare correttamente i calcoli a titolo d'esempio che hai fatto. Comunque credo di aver commesso un errore nel calcolo dato quello che mi hai giustamente segnalato. Ora trascrivo i tuoi esempi come messaggio mio per visualizzarli correttamente e poi cerco di svolgere il limite caricando tutti i passaggi qui.

[Husky64]

Ah no ora mi compaiono, ci dovrà esser stato un errore nel caricamento

[Mephlip]

Sto avendo anche io lo stesso problema, quindi credo che non dipenda da noi; sì, se si ricarica la pagina più volte può succedere che si vedano correttamente le formule. Ora segnalo questa cosa, grazie per averlo osservato!

[Husky64]

Ho provato a calcolare il limite, non mi viene in mente nessuna strada che funzioni poiché finisco sempre in una forma indeterminata sia con che senza sostituzione. E questo stando proprio a ciò che precedentemente dicevi riguardo quelle casistiche e mi sono accorto che durante i vari passaggi di calcolo quest'ultime non vengono rispettate, oltre quell'orrore che mi sono reso conto di aver scritto riguardo il raccoglimento, in quanto il denominatore non c'entra niente e non potrebbe andar via, quindi non ottenendo la stessa cosa del raccoglimento con conseguente applicazione della proprietà del logaritmo. Secondo me ci sarà un motivo per il quale tutti i motori di calcolo effettuano il calcolo tramite De l'Hopital. La forma intermedia diciamo dovrebbe essere questa: $ lim_(x -> +infty)(lnx+ln(x+2))/(lnx+ln(x+1) $ , da qui in poi sto ragionando ma senza successo come dicevo. A mio parere sembra impossibile risolverlo attraverso limiti notevoli per le mie conoscenze, se potessi darmi una mano da qui in poi a capirlo prometto che mi sforzerò di concluderlo.

[Mephlip]

No, la parte intermedia è
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x+\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x+\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}$$
Si calcola anche con i limiti notevoli: ti scrivo la risoluzione in vari passi sotto spoiler, in modo tale che se vuoi provare a farlo da solo hai la soluzione completa.

Parte 1:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+2)}{\log(x+1)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left[x\left(1+\frac{2}{x}\right)\right]}{\log\left[x\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log x+\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x +\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}$$

Parte 2:

Posto $t=\frac{1}{x}$, segue che $t \to 0^+$ per $x \to \infty$; quindi
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x+\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x +\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{t \to 0^+} \frac{\log \frac{1}{t}+\log(1+2t)}{\log \frac{1}{t}+\log(1+t)}$$

Parte 3:

Ora, usando che $\log \frac{a}{b}=\log a -\log b$ per ogni $a,b$ tali che $a>0$ e $b>0$, e usando che $\log 1=0$, si ha che $\log \frac{1}{t}=\log 1-\log t=-\log t$; quindi
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\log \frac{1}{t}+\log(1+2t)}{\log \frac{1}{t}+\log(1+t)}=\lim_{t \to 0^+}\frac{-\log t+\log(1+2t)}{-\log t+\log(1+t)}$$
$$=\lim_{t \to 0^+} \frac{\log t \left[-1+\frac{\log(1+2t)}{\log t}\right]}{\log t\left[-1+\frac{\log(1+t)}{\log t}\right]}=\lim_{t \to 0^+} \frac{-1+\frac{1}{\log t}\cdot \log(1+2t)}{-1+\frac{1}{\log t}\cdot \log(1+t)}$$

Parte 4:

Qui si usano i limiti notevoli:
$$\lim_{t \to 0^+} \frac{-1+\frac{1}{\log t}\cdot \log(1+2t)}{-1+\frac{1}{\log t}\cdot \log(1+t)}=\lim_{t \to 0^+} \frac{-1+\frac{1}{\log t}\cdot \frac{\log(1+2t)}{2t}\cdot 2t}{-1+\frac{1}{\log t}\cdot\frac{\log(1+t)}{t}\cdot t}=\frac{-1+0 \cdot 1 \cdot 2\cdot 0}{-1+0\cdot 1 \cdot 0}=\frac{-1}{-1}=1$$
Avendo usato che $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u}=1$ notando che $2t \to 0$ per $t \to 0^+$ e che $\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{\log t}=0$ in quanto il denominatore tende a $-\infty$ Chiaro ora? .

In realtà, non servono neanche i limiti notevoli. Svolgimento senza limiti notevoli sotto spoiler:

questo perché $\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(1+\frac{2}{x})}{\log x}=0$ e $\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{x})}{\log x}=0$, in quanto i numeratori tendono a $\log 1=0$ e i denominatori tendono a $\infty$ per $x \to \infty$; perciò, dato che $\left[\frac{0}{\infty}\right]$ non è una forma indeterminata ma è $0$, facendo gli stessi calcoli fatti sotto gli spoiler di prima si può direttamente concludere che
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{\log\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x}}{1+\frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\log x}}=\frac{1+0}{1+0}=1$$

[Husky64]

Grazie di cuore per la pazienza e per tutto quello che mi hai proposto, solo un'ultima domanda: nel calcolo del limite senza limite notevole abbiamo 1 al numeratore e al denominatore perché è stato semplificato il segno -?

[Mephlip]

Prego! In quel caso non è stata effettuata la sostituzione $t=\frac{1}{x}$. Infatti, se ci fai caso, è tutto nella variabile $x$. Di conseguenza, non è stata applicata la proprietà $\log \frac{1}{t}=-\log t$ e quindi i logaritmi $\log x$ hanno mantenuto il coefficiente positivo $1$. In pratica, ho fatto questo:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+2)}{\log(x+1)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log x + \log \left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x + \log \left(1+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log x \left[1+ \frac{\log \left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x}\right]}{\log x \left[1+ \frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\log x}\right]}$$
$$=\lim_{x \to \infty} \frac{1+ \frac{\log \left(1+\frac{2}{x}\right)}{\log x}}{1+ \frac{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\log x}}=\frac{1+0}{1+0}=1$$

[Husky64]

Grazie ancora e perdona la mia disattenzione, anche questa negli esercizi fa la sua buona parte nel bloccarmi su punti che sono piuttosto semplici. Con l'auspicio di essere meno macchinoso e disattento ti saluto affettuosamente.
Ciao