Svolgimento di un integrale definito: Gauss o non Gauss?

[villanisilvia]

Buon pomeriggio, mi trovo in difficoltà a capire lo svolgimento di questo integrale: \(\displaystyle \int_{0}^{1}(3x^3e^{-x^{2}}- \frac{3}{2})dx \)

Riscrivendo l'integrale in questo modo \(\displaystyle \int_{0}^{1}3x^3e^{-x^{2}}dx-\int_{0}^{1} \frac{3}{2}dx \), la parte che mi da problemi è questa \(\displaystyle \int_{0}^{1}3x^3e^{-x^{2}}dx \) (essendo \(\displaystyle -\int_{0}^{1} \frac{3}{2}dx=-\frac{3}{2}\left ( 1 \right )=-\frac{3}{2} \)).

Io proverei a risolvere con il procedimento dell'integrazione per parti, ma non saprei calcolare la primitiva di \(\displaystyle e^{-x^{2}} \) (se non sbaglio è l'integrale di Gauss e quindi avrei \(\displaystyle \sqrt{\pi } \) per \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx \) e \(\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2} \) per \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(x)dx \) ).
Ho provato a calcolare l'integrale indefinito con WolframAlpha per cercare di capire come eseguire i calcoli, ma non mi è chiaro questo passaggio: http://i39.tinypic.com/11ju0jt.jpg.
Mi sapreste aiutare?

[Zero87]

Poniamo $x^2=u$. Mi è sempre piaciuta la $t$, ma seguiamo la notazione di wolfram.

Comunque, se $x^2=u$, allora $du=2xdx$ e fino a qui ci siamo, non vedo nessun problema mentale. Magari sei abituata a esplicitare la sostituzione nell'altro senso (cioè avere $dx = ... du$) ma non cambia nulla e puoi usare quella più comoda a tuo piacimento.

Per semplicità, ometto gli estremi, tanto se il problema è la primitiva, basta ricordarsi che ci sono quando l'abbiamo ottenuta tanto per chiarirci.
$\int 3x^3e^(-x^2)dx= \int 3/2 \cdot 2x^3 e^(-x^2)dx = \int 3/2 (2x) x^2 e^(-x^2)dx$

Ora possiamo operare la sostituzione anche perché abbiamo isolato il $2xdx$ da sostituire con il $du$ (per il resto abbiamo posto $u=x^2$).
$= \int u e^(-u) du$
Che se non erro dovrebbe risolversi in maniera agevole.

Un'ultima nota.
Come dici, $int e^(-x^2)dx$, non è uno di quelli che si può calcolare in maniera elementare. Tuttavia se la nostra $e^(-x^2)$ è "accompagnata" da qualche $x$ - non mi viene un termine migliore per dare l'idea - qualche espediente lo si può trovare.
Per esempio
$\int x e^(-x^2)dx$
è, a parte il segno, nella forma
$\int g'(x)f'(g(x))dx$
in altre parole
$\int xe^(-x^2)dx= -1/2 \int -2x e^(-x^2)dx = -1/2 \int D(e^(-x^2))dx$
dove con $D(...)$ indico la "derivata di ..." in modo da far capire al volo che espediente ho usato per calcolare la primitiva.

[villanisilvia]

Grazie per la risposta, sei stato chiaro riguardo la sostituzione Però ho ancora dei dubbi...

ho interpretato \(\displaystyle \int u e^{-u} du \) così \(\displaystyle \int f'\cdot g\), percui l'ho risolto tenendo conto della formula \(\displaystyle f\cdot g-\int f\cdot g' \), ottenendo
\(\displaystyle \frac{u^2}{2}\cdot e^{-u}-\int \frac{u^2}{2}\cdot (-e^{-u}) du \) : un cane che si morde la coda.
Dove sto sbagliando? Non dovevo interpretarlo come una integrazione per parti?
Ho tentato di provare a ridurre \(\displaystyle \int u e^{-u} du \) nella forma \(\displaystyle \int f'(x)\cdot e^{f(x)}dx \), ma salta fuori un pastrocchio decisamente incorretto (la consegna dell'esercizio è calcolare \(\displaystyle e \cdot I \) (con \(\displaystyle I \) la soluzione dell'integrale) e deve risultare \(\displaystyle -3 \)).

[Zero87]

"villanisilvia":ho interpretato \(\displaystyle \int u e^{-u} du \) così \(\displaystyle \int f'\cdot g\), percui l'ho risolto tenendo conto della formula \(\displaystyle f\cdot g-\int f\cdot g' \), ottenendo
\(\displaystyle \frac{u^2}{2}\cdot e^{-u}-\int \frac{u^2}{2}\cdot (-e^{-u}) du \) : un cane che si morde la coda.
Dove sto sbagliando? Non dovevo interpretarlo come una integrazione per parti?

Prova a interpretarlo come $f'g$ ma $f'=e^(-u)$: in genere quando c'è un'esponenziale con esponente lineare moltiplicato con un $x^n$ è quella quella che funziona perché l'esponenziale resta tale ma l'$x^n$ si smonta fino a che non scompare a furia di derivate...