Svolgimento di derivate parziali prime di una funzione

[ferrilorenzo]

Salve ragazzi. A breve avrò un esame di matematica, e c'è ancora qualcosina che non riesco a capire bene. Per le altre cose, basta soltanto che mi eserciti di più, quindi evito di chiederle. Il problema sorge nella derivazione.
Essendo la derivata abbastanza lunga, e uno dei punti fondamentali dell'esame scritto, la prof ci tiene un casino, e posso affermare che non ammette all'orale se non fai bene quella. Diciamo che è l'esercizio Jolly.
Quindi, mi servirebbe una mano. Io ora riporterò la traccia, e il mio svolgimento, che probabilmente sarà errato in alcune parti e spero che qualcuno di voi possa aiutarmi a capire dove e perché ho sbagliato in modo da non rifare lo stesso errore ( anche perché la derivata del compito sarà simile ).

PS: Non sapendo che metodo usare per scrivere la base del logaritmo ( il pedice ) nella formula userò un qualcosa di simile: log 3 (5y) in cui 3 rappresenta la base, mentre quello tra parentesi, 5y, rappresenta l'argomento.

PPS: Scusate se in alcuni punti non ho effettuato la moltiplicazione, ma l'ho fatto per far capire meglio come ho svolto quel passaggio, così da poter confrontarci meglio.

Traccia:

$ f(x,y) = xln 2y^2 - e^x(x-y^3) - (2x)/(x^2-y) + ln (x/y) + sqrt(7x^3y) + (2x)^ln y + (5x-2y)^3 + log3(5y) + (x-e^x)/(y-e^y) - (1/2)^(x/y) $

Svolgimento:

$ f'(x) = ln 2y^2 - e^x*(x-y^3) - e^x - (2(x^2-y) -2x(2x))/((x^2-y)^2) + y/x *1/y + (21x^2y)/(2sqrt(7x^3y)) + lny*(2x)^(lny-1)*2 + 3*(5x-2y)^2 * 5 + 1/(y-e^y) * (1-e^x) - (1/2)^(x/y)*ln(1/2)*1/y $


$ f'(y) = x/(2y^2) * 4y - e^x * (-3y^2) -(2x)/((x^2-y)^2) * (-1) + y/x * (-x/y^2) + (7x^3)/(2sqrt(7x^3y)) + (2x)^(lny) * ln (2x) * (1/y) + 3*(5x-2y)^2 * (-2) + 1/(5y) * log3 (e) * 5 + (x-e^x)*(-(1)/(y-e^y)^2) * (1-e^y) - (1/2)^(x/y) * ln (1/2) * (-x/y^2) $

Aspetto vostre risposte, e grazie in anticipo per l'aiuto.
Un saluto, LoRy.

[Brancaleone1]

Ciao LoRiKaS.
Prima di tutto devo farti un elogio per aver scritto le formule correttamente: non è da tutti imparare a usarle sin dal primo messaggio
Mi pare sia tutto giusto tranne:

$D_x[(2x)^(ln(y))]=ln(y)*(2x)^(ln(y)-1)$

$D_y[-(2x)/(x^2-y)]=-(2x)/(x^2-y)^2$

[ferrilorenzo]

Grazie
Per quanto riguarda la derivata invece, non ho ben capito. Tu mi hai scritto la forma corretta, o mi hai solo indicato quali sono quelle che devo correggere?
Perché la prima, è uguale alla mia, in più c'è la y in parentesi.
La seconda invece ci manca il $ *(-1) $ , che io l'ho messo in quanto derivata del denominatore. E' sbagliato come ho fatto io, o tu mi stavi indicando semplicemente quali sono quelle che ho sbagliato ?
Scusa, è che sono un po' confuso Comunque grazie della risposta, gentilissimo.

[Brancaleone1]

Io avrei scritto le forme giuste, ma rifacendo meglio i conti - ero un po' stanco ieri sera XD - la prima che ho scritto non è affatto giusta, ma lo è la tua

La seconda che ho inserito è negativa - non devi moltiplicare per $-1$:

$D_y[-(2x)/(x^2-y)]=D_y[(2x)/(y-x^2)]=(0*(y-x^2)-1*2x)/(y-x^2)^2=(-2x)/(y-x^2)^2(=(-2x)/(x^2-y)^2)$

[ferrilorenzo]

Ah, capito Io invece pensavo di poter "cacciare fuori" la costante, 2x, e quindi derivare poi $ 1/(x^2-y) $
Grazie dell'aiuto, sei stato molto gentile! Un saluto

[Brancaleone1]

Figurati!
Comunque sì, puoi anche estrarre la costante al numeratore, il risultato non cambia:

$-2x*D_y[1/(x^2-y)]=-2x*(0*(x^2-y)-(-1))/(x^2-y)^2=(-2x)/(x^2-y)^2$

oppure

$2x*D_y[(-1)/(x^2-y)]=2x*(0*(x^2-y)-(-1)(-1))/(x^2-y)^2=(-2x)/(x^2-y)^2$

[ferrilorenzo]

Ah probabilmente mi sarò confuso. Grazie mille della delucidazione
EDIT: Ok, rifacendola ho capito l'errore. Io ho usato questa formula:

$ D [1/x] = - 1/x^2 $

Essendo il denominatore una funzione, e non semplicemente x, quindi $ 1/f(x) $ bisogna moltiplicare ulteriormente per la derivata del denominatore, che nel caso di questa derivata è -1
Il fatto è che avevo dimenticato un meno, infatti alla fine risulterebbe così:

$ -2x * (-1/(x^2-y)^2 ) * (-1) $

ed è negativo, come è giusto che sia. Quindi è stato un errore mio di calcoli