Svolgimento di alcuni esercizi di esame
Premetto che ho sostenuto l'esame di analisi 1 non passandolo per un punto,il problema è che durante lo svolgimento non sono riuscito a fare quasi due esercizi interi e un punto di un esercizio (ovviamente il totale dei punti era superiore a 30)
L'esercizio intero che non sono riuscito a fare è il seguente
Sia $ f(x) = sin(x|x|) $
i. Individuare tutti i punti in cui la funzione f e derivabile e determinare la derivata prima f(0).
ii. Dire se la funzione f e derivabile due volte nel punto x = 0.
per il primo punto pensavo bastasse trovare l'intervallo di definizione e poi fare la derivata prima,sostituendo poi 0 ad x,il problema è che non riesco a capire in quale modo si trovi il dominio di questa funzione,il modulo mi infastidisce e non poco
per il secondo punto,pensavo di riderivare la derivata prima,ottenendo perciò la derivata seconda,sostituendo 0 ad x avrei verificato se la derivata si sarebbe annullata (ma rimane il fatto di non essere riuscito a calcolare nemmeno la derivata prima...)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Passiamo al secondo esercizio:
Sia $ f(x) = x^5 - 5x^3 + 55x - 555 $
i. Dimostrare che la funzione f e strettamente crescente, studiandone la derivata prima.
ii. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette una ed una sola soluzione in R e calcolarne la parte intera.
Al primo punto ho calcolato la derivata prima $ 5x^4 - 15x^2 + 55 $ e ponendola >0 ho dedotto che la condizione era sempre possibile per via della potenza di X elevata a 4,ma ovviamente ho sbagliato perchè ho preso un punto solo (mi sarà stato attribuito solo per il calcolo della derivata prima)
Al secondo punto non so cosa fare,a meno che non vada prima usato ruffini per scomporre il polinomio (ma all'esame non mi ricordavo la regola
)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ora passiamo al punto dell'ultimo esercizio
Sia $ f(x) = (x^2 - 2)/(3x^2 - 8x +6) $
- Dimostrare che $ -1 <= f(x) <= 1 $ per ogni $ x € R $.
ho provato a dire che per ogni x il denominatore rimane sempre maggiore del nominatore,e questo fa si che il risultato del rapporto sia sempre molto piccolo,ma a quanto pare non ha funzionato
Spero in un vostro chiarimento,grazie ai dubbi risolti nello scorso topic sono arrivato quasi a passare l'esame,è stata questione di un punto ma vi ringrazio lo stesso
L'esercizio intero che non sono riuscito a fare è il seguente
Sia $ f(x) = sin(x|x|) $
i. Individuare tutti i punti in cui la funzione f e derivabile e determinare la derivata prima f(0).
ii. Dire se la funzione f e derivabile due volte nel punto x = 0.
per il primo punto pensavo bastasse trovare l'intervallo di definizione e poi fare la derivata prima,sostituendo poi 0 ad x,il problema è che non riesco a capire in quale modo si trovi il dominio di questa funzione,il modulo mi infastidisce e non poco
per il secondo punto,pensavo di riderivare la derivata prima,ottenendo perciò la derivata seconda,sostituendo 0 ad x avrei verificato se la derivata si sarebbe annullata (ma rimane il fatto di non essere riuscito a calcolare nemmeno la derivata prima...)
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Passiamo al secondo esercizio:
Sia $ f(x) = x^5 - 5x^3 + 55x - 555 $
i. Dimostrare che la funzione f e strettamente crescente, studiandone la derivata prima.
ii. Dimostrare che l'equazione f(x) = 0 ammette una ed una sola soluzione in R e calcolarne la parte intera.
Al primo punto ho calcolato la derivata prima $ 5x^4 - 15x^2 + 55 $ e ponendola >0 ho dedotto che la condizione era sempre possibile per via della potenza di X elevata a 4,ma ovviamente ho sbagliato perchè ho preso un punto solo (mi sarà stato attribuito solo per il calcolo della derivata prima)
Al secondo punto non so cosa fare,a meno che non vada prima usato ruffini per scomporre il polinomio (ma all'esame non mi ricordavo la regola
)-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ora passiamo al punto dell'ultimo esercizio
Sia $ f(x) = (x^2 - 2)/(3x^2 - 8x +6) $
- Dimostrare che $ -1 <= f(x) <= 1 $ per ogni $ x € R $.
ho provato a dire che per ogni x il denominatore rimane sempre maggiore del nominatore,e questo fa si che il risultato del rapporto sia sempre molto piccolo,ma a quanto pare non ha funzionato
Spero in un vostro chiarimento,grazie ai dubbi risolti nello scorso topic sono arrivato quasi a passare l'esame,è stata questione di un punto ma vi ringrazio lo stesso
Risposte
II ° esercizio
$f(x)= x^5-5x^3+55x-555 $ ; la derivata è $f'(x)= 5x^4-15x^2+55 =5(x^4-3x^2+11 )$. devi studiare il segno della derivata prima.
La tua considerazione sul fatto che sia sempre positiva perchè ha il termine $x^4$ è molto ma molto errata !!
Devi valutare il segno di $ x^4-3x^2+11$ , conviene porre $t=x^2 $( è una biquadratica) ed ottenere $t^2-3t +11 $.
$ t^2-3t+11> 0 $ è la disequazione da risolvere.
L'equazione $t^2 -3t+11 =0 $ non ha radici reali perchè il discriminante $Delta <0 $ , il coefficiente del termine di secondo grado ( che vale 1 ) è positivo quindi la disequazione è verificata per ogni valore di $ t $ e quindi per ogni valore di $x$.
Se la derivata è sempre positiva allora la funzione originaria è crescente.
Una e una sola soluzione dell'equazione $f(x)=0 $
Il polinomio non è scomponibile facilmente , caso mai è la regola di Ruffini e non di Bernoulli ad essere di aiuto ma non in questo caso.
Sappiamo che la funzione $f(x)$ è sempre crescente : calcoliamo $lim_(x rarr +oo )f(x)= +oo $ e $lim_(x rarr -oo ) f(x)= -oo $ , ok ?
Ne deduciamo che la funzione ha un solo zero, ok ?
Per trovare una approssimazione del valore dello zero devo cercare due valori di $x $ chiamiamoli $x_1,x_2 $ per cui $ f(x)$ ha valori di segno opposto.Il teorema degli zeri mi assicurerà allora che l'unica soluzione è compresa tra $x_1 $ e $x_2 $.
Provo con $x=0 $ e ottengo $f(0)=-555 ; f(1) $ ha ancora valore fortemente negativo .Procedo quindi con valori maggiori.
$f(3) $ è negativo mentre $f(4) $ è positivo , la radice cercata sarà allora $x= 3, .... $.
Il punto dell'ultimo esercizio si risolve con le disequazioni
Suggerimento : ripassa le disequazioni e Ruffini...
$f(x)= x^5-5x^3+55x-555 $ ; la derivata è $f'(x)= 5x^4-15x^2+55 =5(x^4-3x^2+11 )$. devi studiare il segno della derivata prima.
La tua considerazione sul fatto che sia sempre positiva perchè ha il termine $x^4$ è molto ma molto errata !!
Devi valutare il segno di $ x^4-3x^2+11$ , conviene porre $t=x^2 $( è una biquadratica) ed ottenere $t^2-3t +11 $.
$ t^2-3t+11> 0 $ è la disequazione da risolvere.
L'equazione $t^2 -3t+11 =0 $ non ha radici reali perchè il discriminante $Delta <0 $ , il coefficiente del termine di secondo grado ( che vale 1 ) è positivo quindi la disequazione è verificata per ogni valore di $ t $ e quindi per ogni valore di $x$.
Se la derivata è sempre positiva allora la funzione originaria è crescente.
Una e una sola soluzione dell'equazione $f(x)=0 $
Il polinomio non è scomponibile facilmente , caso mai è la regola di Ruffini e non di Bernoulli ad essere di aiuto ma non in questo caso.
Sappiamo che la funzione $f(x)$ è sempre crescente : calcoliamo $lim_(x rarr +oo )f(x)= +oo $ e $lim_(x rarr -oo ) f(x)= -oo $ , ok ?
Ne deduciamo che la funzione ha un solo zero, ok ?
Per trovare una approssimazione del valore dello zero devo cercare due valori di $x $ chiamiamoli $x_1,x_2 $ per cui $ f(x)$ ha valori di segno opposto.Il teorema degli zeri mi assicurerà allora che l'unica soluzione è compresa tra $x_1 $ e $x_2 $.
Provo con $x=0 $ e ottengo $f(0)=-555 ; f(1) $ ha ancora valore fortemente negativo .Procedo quindi con valori maggiori.
$f(3) $ è negativo mentre $f(4) $ è positivo , la radice cercata sarà allora $x= 3, .... $.
Il punto dell'ultimo esercizio si risolve con le disequazioni
Suggerimento : ripassa le disequazioni e Ruffini...
Sul primo punto dell'esame scritto da te affrontato e quasi superato(in bocca al lupo per il prossimo tentativo!),
direi che sarebbe stato opportuno scrivere l'assegnata funzione reale d'una variabile reale nella seguente notazione(usualmente denominata "a tratti" e,ancor più spesso,inspiegabilmente ignorata,nonostante la sinteticità e la comodità che essa assicura in molti casi in cui nella legge di definizione è presente almeno un valore assoluto..):
$f(x)={( sin[x*(+x)]=sin(x^2) text{ se } x geq 0 ),( sin[x*(-x)]=sin(-x^2) text{se } x < 0 ):}:RR\to RR.$
Osservato a tal proposito come in fondo non sia stato fatto altro che riproporre,per la funzione in questione,
la definizione del valore assoluto alternativa ed equivalente a quella elementare,
e come non sia difficile accorgersi che l'assegnata funzione composta $f(x)=sin(x*|x|)$ è definibile come evidenziato in tutto $RR$ poichè tanto il suo argomento,ossia $t=x*|x|$,quanto la sua componente più esterna,cioè $sint$,
son calcolabili $AA x ,t in cc(R)$,
basterà infine osservare che $EElim_(x ->0^+ )(f(x)-f(0)) / (x-0)=lim_(x ->0^+)(sinx^2-0)/(x)=lim_(x->0^+)sinx^2/(x)=lim_(x->0^+)sinx^2/(x^2)*x=1*0^+=0^+$,
e come sia possibile verificare con metodo del tutto analogo che $EElim_(x ->0^- )(f(x)-f(0)) /(x-0)=lim_(x ->0^-)(sin(-x^2)-0)/(x)=cdots=0^-$:
potremo dunque affermare,per quanto noto nel caso d'uguaglianza tra i limiti dx e sx d'una funzione in un punto finito,
che $EElim_(x ->0 )(f(x)-f(0)) /(x-0)=0rArrEEf'(0)=0$.
Applicando poi il teorema di derivazione delle funzioni composte nei punti $!=0$ avremo allora che $EEf'(x)={( 2*x*cosx^2 text{ se } x >= 0 ),( -2*x*cos(-x^2)text{ se } x < 0 ):}:RR\to RR$:
t basterà poi ripetere sul rapporto incrementale di siffatta f' gli stessi ragionamenti precedenti per accorgerti che le derivate seconde dx ed sx in 0 valgono,rispettivamente,2 e -2,
e dunque la loro disuguaglianza ci assicura che,a norma di definizione,f''(0) non esiste!!
Un saluto.
direi che sarebbe stato opportuno scrivere l'assegnata funzione reale d'una variabile reale nella seguente notazione(usualmente denominata "a tratti" e,ancor più spesso,inspiegabilmente ignorata,nonostante la sinteticità e la comodità che essa assicura in molti casi in cui nella legge di definizione è presente almeno un valore assoluto..):
$f(x)={( sin[x*(+x)]=sin(x^2) text{ se } x geq 0 ),( sin[x*(-x)]=sin(-x^2) text{se } x < 0 ):}:RR\to RR.$
Osservato a tal proposito come in fondo non sia stato fatto altro che riproporre,per la funzione in questione,
la definizione del valore assoluto alternativa ed equivalente a quella elementare,
e come non sia difficile accorgersi che l'assegnata funzione composta $f(x)=sin(x*|x|)$ è definibile come evidenziato in tutto $RR$ poichè tanto il suo argomento,ossia $t=x*|x|$,quanto la sua componente più esterna,cioè $sint$,
son calcolabili $AA x ,t in cc(R)$,
basterà infine osservare che $EElim_(x ->0^+ )(f(x)-f(0)) / (x-0)=lim_(x ->0^+)(sinx^2-0)/(x)=lim_(x->0^+)sinx^2/(x)=lim_(x->0^+)sinx^2/(x^2)*x=1*0^+=0^+$,
e come sia possibile verificare con metodo del tutto analogo che $EElim_(x ->0^- )(f(x)-f(0)) /(x-0)=lim_(x ->0^-)(sin(-x^2)-0)/(x)=cdots=0^-$:
potremo dunque affermare,per quanto noto nel caso d'uguaglianza tra i limiti dx e sx d'una funzione in un punto finito,
che $EElim_(x ->0 )(f(x)-f(0)) /(x-0)=0rArrEEf'(0)=0$.
Applicando poi il teorema di derivazione delle funzioni composte nei punti $!=0$ avremo allora che $EEf'(x)={( 2*x*cosx^2 text{ se } x >= 0 ),( -2*x*cos(-x^2)text{ se } x < 0 ):}:RR\to RR$:
t basterà poi ripetere sul rapporto incrementale di siffatta f' gli stessi ragionamenti precedenti per accorgerti che le derivate seconde dx ed sx in 0 valgono,rispettivamente,2 e -2,
e dunque la loro disuguaglianza ci assicura che,a norma di definizione,f''(0) non esiste!!
Un saluto.
"Camillo":il fatto che abbia anche sbagliato scrivendo Bernulli al posto di ruffini dimostra che la regola l'avevo proprio soppressa,comunque non ho problemi con le disequazioni,ora che ho visto la soluzione noto che ad incastrarmi è stato il non utilizzo di una variabile di appoggio quale è t.Una domanda per curiosità,calcolandomi la derivata terza,quindi riducendo la potenza ad un quadrato e successivamente studiarne il segno,non mi avrebbe portato alla stessa conclusione? (parlo del primo punto)
II ° esercizio
$f(x)= x^5-5x^3+55x-555 $ ; la derivata è $f'(x)= 5x^4-15x^2+55 =5(x^4-3x^2+11 )$. devi studiare il segno della derivata prima.
La tua considerazione sul fatto che sia sempre positiva perchè ha il termine $x^4$ è molto ma molto errata !!
Devi valutare il segno di $ x^4-3x^2+11$ , conviene porre $t=x^2 $( è una biquadratica) ed ottenere $t^2-3t +11 $.
$ t^2-3t+11> 0 $ è la disequazione da risolvere.
L'equazione $t^2 -3t+11 =0 $ non ha radici reali perchè il discriminante $Delta <0 $ , il coefficiente del termine di secondo grado ( che vale 1 ) è positivo quindi la disequazione è verificata per ogni valore di $ t $ e quindi per ogni valore di $x$.
Se la derivata è sempre positiva allora la funzione originaria è crescente.
Una e una sola soluzione dell'equazione $f(x)=0 $
Il polinomio non è scomponibile facilmente , caso mai è la regola di Ruffini e non di Bernoulli ad essere di aiuto ma non in questo caso.
Sappiamo che la funzione $f(x)$ è sempre crescente : calcoliamo $lim_(x rarr +oo )f(x)= +oo $ e $lim_(x rarr -oo ) f(x)= -oo $ , ok ?
Ne deduciamo che la funzione ha un solo zero, ok ?
Per trovare una approssimazione del valore dello zero devo cercare due valori di $x $ chiamiamoli $x_1,x_2 $ per cui $ f(x)$ ha valori di segno opposto.Il teorema degli zeri mi assicurerà allora che l'unica soluzione è compresa tra $x_1 $ e $x_2 $.
Provo con $x=0 $ e ottengo $f(0)=-555 ; f(1) $ ha ancora valore fortemente negativo .Procedo quindi con valori maggiori.
$f(3) $ è negativo mentre $f(4) $ è positivo , la radice cercata sarà allora $x= 3, .... $.
Il punto dell'ultimo esercizio si risolve con le disequazioni
Suggerimento : ripassa le disequazioni e Ruffini...
"Andrew Ryan":
Una domanda per curiosità,calcolandomi la derivata terza,quindi riducendo la potenza ad un quadrato e successivamente studiarne il segno,non mi avrebbe portato alla stessa conclusione? (parlo del primo punto)
se conosci un teorema che lega derivata terza e crescenza...
"itpareid":
[quote="Andrew Ryan"]
Una domanda per curiosità,calcolandomi la derivata terza,quindi riducendo la potenza ad un quadrato e successivamente studiarne il segno,non mi avrebbe portato alla stessa conclusione? (parlo del primo punto)
se conosci un teorema che lega derivata terza e crescenza...
[/quote]ho provato ad azzardare,era semplice curiosità.Comunque vi ringrazio per l'aiuto,al momento manca solo l'ultimo esercizio,qualcuno è così gentile da illuminarmi anche su questo?
Devi risolvere il seguente sistema di disequazioni:
$\{((x^2-2)/(3x^2-8x+6)>=-1),((x^2-2)/(3x^2-8x+6)<=1):}$
e mostrare che è soddisfatto per ogni valore di $x$.
$\{((x^2-2)/(3x^2-8x+6)>=-1),((x^2-2)/(3x^2-8x+6)<=1):}$
e mostrare che è soddisfatto per ogni valore di $x$.
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