Svolgimento calcolo della derivata quinta in 0

[bugger]

Ciao a tutti,
mi potreste, per favore dire se vanno bene i passaggi che ho fatto per trovare la derivata quinta in 0 di $ f(x)=x(sinx)^2-x^3e^(x^2) $

Mi sono trovato lo sviluppo del $sinx$ fermandomi quando lo ritenevo opportuno
$ sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+o(x^6) $

Ho elevato al quadrato, quindi

$ (sinx)^2=(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+o(x^6))^2=x^2-x^4/3+x^6/36+o(x^7) $

Ho moltiplicato per x, quindi

$ x(sinx)^2=x(x^2-x^4/3+x^6/36+o(x^7))=x^3-x^5/3+o(x^8) $

Poi ho sviluppato $e^(x^2) $

$ e^x=x^2+x^4/2+x^6/36+o(x^7) $

Moltiplicato per $x^3$

$ x^3e^(x^2)=x^3+x^5+o(x^10) $

Dunque lo sviluppo finale sarebbe

$ f(x)=(x^3-x^5/3+o(x^8))-(x^3+x^5+o(x^10))=-4/3x^5+o(x^8) $

E quindi la derivata quinta in 0 di f(x) è $ (f^(5)(0))/(5!)(x-0)^5=(-4/3)/(5!)x^5 $

E' giusto cosi???

[Quinzio]

"bugger":
$ f(x)=(x^3-x^5/3+o(x^8))-(x^3+x^5+o(x^10))=-4/3x^5+o(x^8) $

Hai fatto tutto bene fino a qui...

E quindi la derivata quinta in 0 di f(x) è $ (f^(5)(0))/(5!)(x-0)^5=(-4/3)/(5!)x^5 $

e poi questo cos'è ?

Avevi:
$-4/3x^5+o(x^8)$

devi derivare 5 volte --> $f^((5))(0)=-4/3 5!$

gli altri termini spariscono o perchè contengono la $x$ quindi sono zero.
Oppure perchè vengono "fatti fuori" durante le derivazioni.

[bugger]

Ma la formula di Taylor generale non è $...(f^(5)(x_0))/(5!)(x-x_0)^5$??