Svolgere una derivata dx e sx

[robott1]

Non riesco a svolgere e ottenere il risultato di questa derivata:

f'(0) = $lim_(x->0)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x$

il libro scrive:

f'(0) = $lim_(x->0)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x = $$lim_(x->0)(1/2sinx)/x = 1/2 $ perchè?


Sia da destra (per la quale il libro porta come risultato 1/2) e sinistra (-1/2).

Ho provato ad utilizzare il limite notevole $lim_(x->0)((1+x)^\alpha-1)/x = \alpha$ ma in tal caso dovrebbe venire $1/2* sgn(x) * (-cos(x))$

[gugo82]

"robott":Non riesco a svolgere e ottenere il risultato di questa derivata:

$f'(0) = lim_(x->0)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x$

il libro scrive:

$f'(0) = lim_(x->0)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x =lim_(x->0)(1/2sinx)/x = 1/2 $ perchè?

Non che questa impostazione di risoluzione mi piaccia tanto... Insomma, mi sembra davvero rozza.

Mi piace molto di più la tua idea, poiché ricordando i limiti fondamentali:

$lim_(y\to 0) ((1+y)^alpha-1)/y=alpha \quad$ e $\quad lim_(z\to 0) (sinz)/z=1$

dovresti uscirne in due minuti.
Infatti è:

$(sqrt(1+|sinx|)-1)/x=(sqrt(1+|sinx|)-1)/|sin x|*|sinx|/x$

e, per i risultati testé richiamati si ha:

$lim_(x\to 0) (sqrt(1+|sinx|)-1)/(|sin x|)=1/2$

epperò:

$lim_(x\to 0^+)|sinx|/x=1 \quad$ e $\quad lim_(x\to 0^-)|sinx|/x=-1$,

di modo che:

$lim_(x->0^+)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x=1/2 \quad$ e $\quad lim_(x->0^-)(sqrt(1+|sinx|)-1)/x=-1/2$

sono, rispettivamente, derivata destra e sinistra di $f$ in $0$.

[robott1]

Perfetto! Grazie a entrambi!