Svolgere questa disequazione ?
$(x^(2)+1)/8>=(x^(2)/((x+1)^(2)))$ per risolverla ho ragionato in questo modo: ho calcolato la derivata prima ho calcolato attraverso ruffini quando essa si annulla, siccome ottengo $0$ come punto di minimo della funzione associata alla disequazione, allora la funzione deve per forza di cose passare in 0, sostituisco il valore nella disequazione e quindi verifico la diseguaglianza, è giusto ?
Risposte
Puoi moltiplicare ambo i membri per $8(x+1)^2$ e semplificare dal momento che è una quantità sempre positiva.
Intanto $x\ne -1$ per il dominio.
Alla fine hai
$(x+1)^2 (x^2+1) \ge 8x^2$
cioè
$x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1-8x^2\ge 0$
dunque
$x^4+2x^3-6x^2+2x+1\ge 0$
Basta vedere dove si annulla l'equazione associata. Essendo la funzione al primo membro una funzione continua, tra ogni coppia di zeri dell'equazione associata assume lo stesso segno quindi basta prendere un valore tra ogni coppia di zeri e iterare il procedimento in ognuno di questi intervalli.
Per quanto riguarda l'equazione associata, stavolta non credo di aver sbagliato i calcoli come al solito perché ho un'equazione particolare che si risolve in un modo simpatico. Intanto $x=0$ non è soluzione.
Si pone $x+1/x=t$
da cui $x^2+1/(x^2)=t^2-2$
e si divide il tutto per $x^2$ (già visto che $x=0$ non è soluzione)
$x^2+2x-6+2/x+1/(x^2)=0$
dunque
$(x^2+1/(x^2))+2(1+1/x)-6=0$
$t^2-2+2t-6=0$ cioè $t^2-2t-8=0$ da cui $t=4$ e $t=-2$.
Si ritorna a $x$ e si vedono tutte le soluzioni dell'equazione associata.
Intanto $x\ne -1$ per il dominio.
Alla fine hai
$(x+1)^2 (x^2+1) \ge 8x^2$
cioè
$x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1-8x^2\ge 0$
dunque
$x^4+2x^3-6x^2+2x+1\ge 0$
Basta vedere dove si annulla l'equazione associata. Essendo la funzione al primo membro una funzione continua, tra ogni coppia di zeri dell'equazione associata assume lo stesso segno quindi basta prendere un valore tra ogni coppia di zeri e iterare il procedimento in ognuno di questi intervalli.
Per quanto riguarda l'equazione associata, stavolta non credo di aver sbagliato i calcoli come al solito perché ho un'equazione particolare che si risolve in un modo simpatico. Intanto $x=0$ non è soluzione.
Si pone $x+1/x=t$
da cui $x^2+1/(x^2)=t^2-2$
e si divide il tutto per $x^2$ (già visto che $x=0$ non è soluzione)
$x^2+2x-6+2/x+1/(x^2)=0$
dunque
$(x^2+1/(x^2))+2(1+1/x)-6=0$
$t^2-2+2t-6=0$ cioè $t^2-2t-8=0$ da cui $t=4$ e $t=-2$.
Si ritorna a $x$ e si vedono tutte le soluzioni dell'equazione associata.
"Zero87":
Puoi moltiplicare ambo i membri per $8(x+1)^2$ e semplificare dal momento che è una quantità sempre positiva.
Intanto $x\ne -1$ per il dominio.
Alla fine hai
$(x+1)^2 (x^2+1) \ge 8x^2$
cioè
$x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1-8x^2\ge 0$
dunque
$x^4+2x^3-6x^2+2x+1\ge 0$
Basta vedere dove si annulla l'equazione associata. Essendo la funzione al primo membro una funzione continua, tra ogni coppia di zeri dell'equazione associata assume lo stesso segno quindi basta prendere un valore tra ogni coppia di zeri e iterare il procedimento in ognuno di questi intervalli.
Per quanto riguarda l'equazione associata, stavolta non credo di aver sbagliato i calcoli come al solito perché ho un'equazione particolare che si risolve in un modo simpatico. Intanto $x=0$ non è soluzione.
Si pone $x+1/x=t$
da cui $x^2+1/(x^2)=t^2-2$
e si divide il tutto per $x^2$ (già visto che $x=0$ non è soluzione)
$x^2+2x-6+2/x+1/(x^2)=0$
dunque
$(x^2+1/(x^2))+2(1+1/x)-6=0$
$t^2-2+2t-6=0$ cioè $t^2-2t-8=0$ da cui $t=4$ e $t=-2$.
Si ritorna a $x$ e si vedono tutte le soluzioni dell'equazione associata.
Ma il mio procedimento è giusto?
"Fab996":
Ma il mio procedimento è giusto?
In linea teorica, se ho capito cosa intendi, potrebbe essere giusto ma questa frase è di oscura interpretazione.
"Fab996":
ho calcolato la derivata prima ho calcolato attraverso ruffini quando essa si annulla, siccome ottengo $ 0 $ come punto di minimo della funzione associata alla disequazione, allora la funzione deve per forza di cose passare in 0
Perché gli zeri della derivata non sono necessariamente gli zeri della funzione. Ma magari ho capito male io cosa hai scritto.
"Zero87":
[quote="Fab996"]Ma il mio procedimento è giusto?
In linea teorica, se ho capito cosa intendi, potrebbe essere giusto ma questa frase è di oscura interpretazione.
"Fab996":
ho calcolato la derivata prima ho calcolato attraverso ruffini quando essa si annulla, siccome ottengo $ 0 $ come punto di minimo della funzione associata alla disequazione, allora la funzione deve per forza di cose passare in 0
Perché gli zeri della derivata non sono necessariamente gli zeri della funzione. Ma magari ho capito male io cosa hai scritto.
[/quote]Allora io sono passato alla funzione associata $f(x)=(x^(2)+1)/8=x^(2)/(x+1)^(2)$, ho calcolato la derivata prima di questa funzione, l'ho scomposta attraverso Ruffini e posta uguale a $0$ in modo da trovare punti stazionari, indipendentemente se essi siano di massimo o minimo. Siccome ho trovato un punto $x=0$ in cui la derivata si annulla allora $0$ è un punto stazionario della funzione, e quindi posso sostituire $0$ nella disequazione e vedere se è verificata.
Sorry per la risposta tardiva... ma di giorno lavoro! 
Intanto a tua scrittura non ha senso. Se hai
$(x^(2)+1)/8\ge x^(2)/(x+1)^(2)$
allora quella sotto, cioè
$(x^(2)+1)/8=x^(2)/(x+1)^(2)$
è l'equazione associata. La funzione associata la ottieni dall'equazione o dalla disequazione portando il tutto in un membro, per es. al primo membro
$f(x)=(x^(2)+1)/8-x^(2)/(x+1)^(2)$
e facendo un minimo comun denominatore ottieni
$f(x)=\frac{(x^2+1)(x+1)^2-8x^2}{8(x+1)^2}$
ovvero
$f(x)=\frac{x^4+2x^3-6x^2+2x+1}{8(x+1)^2}$
facendo qualche conticino che mi auguro essere giusto.
Ora, quello che ho fatto io nel precedente post è direttamente studiare il segno di quella quantità vedendo l'equazione associata (in realtà, infatti, alla funzione io non ci ero proprio arrivato perché ho preso una strada che per me è più semplice).
Quello che dici tu, ammesso che sei qui, è
Che in realtà non ti aiuta perché trovando i punti in cui si annulla la derivata, scopri dove la funzione originale ha massimi o minimi ma non sai nulla di zeri o del segno. Per esempio, se sostituisci $0$ nella disequazione iniziale, hai
$1/8\ge 0$
che è vero, ma non sai l'intervallo in cui continua ad essere verificata la disequazione in questo modo.
Quello che hai fatto tu, ti serve se devi studiare la funzione, ma qui puoi usare la funzione però fino allo studio del segno, è un passo in più e anche fuorviante studiare anche massimi o minimi o altro... non credi?
Non so se sono stato chiaro, ormai ho perso un po' di quel (poco) smalto che avevo all'università.
"Fab996":
Allora io sono passato alla funzione associata $f(x)=(x^(2)+1)/8=x^(2)/(x+1)^(2)$
Intanto a tua scrittura non ha senso. Se hai
$(x^(2)+1)/8\ge x^(2)/(x+1)^(2)$
allora quella sotto, cioè
$(x^(2)+1)/8=x^(2)/(x+1)^(2)$
è l'equazione associata. La funzione associata la ottieni dall'equazione o dalla disequazione portando il tutto in un membro, per es. al primo membro
$f(x)=(x^(2)+1)/8-x^(2)/(x+1)^(2)$
e facendo un minimo comun denominatore ottieni
$f(x)=\frac{(x^2+1)(x+1)^2-8x^2}{8(x+1)^2}$
ovvero
$f(x)=\frac{x^4+2x^3-6x^2+2x+1}{8(x+1)^2}$
facendo qualche conticino che mi auguro essere giusto.
Ora, quello che ho fatto io nel precedente post è direttamente studiare il segno di quella quantità vedendo l'equazione associata (in realtà, infatti, alla funzione io non ci ero proprio arrivato perché ho preso una strada che per me è più semplice).
Quello che dici tu, ammesso che sei qui, è
ho calcolato la derivata prima di questa funzione, l'ho scomposta attraverso Ruffini e posta uguale a $0$ in modo da trovare punti stazionari, indipendentemente se essi siano di massimo o minimo. Siccome ho trovato un punto $x=0$ in cui la derivata si annulla allora $0$ è un punto stazionario della funzione, e quindi posso sostituire $0$ nella disequazione e vedere se è verificata.
Che in realtà non ti aiuta perché trovando i punti in cui si annulla la derivata, scopri dove la funzione originale ha massimi o minimi ma non sai nulla di zeri o del segno. Per esempio, se sostituisci $0$ nella disequazione iniziale, hai
$1/8\ge 0$
che è vero, ma non sai l'intervallo in cui continua ad essere verificata la disequazione in questo modo.
Quello che hai fatto tu, ti serve se devi studiare la funzione, ma qui puoi usare la funzione però fino allo studio del segno, è un passo in più e anche fuorviante studiare anche massimi o minimi o altro... non credi?
Non so se sono stato chiaro, ormai ho perso un po' di quel (poco) smalto che avevo all'università.
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