Svolgere il limite

[streglio-votailprof]

Salve, dato il seguente limite $\lim_{n \to \0} (e^(sin (x))-1-x)/ln(cos(x))$:

Ho problemi con lo viluppo di Taylor al denominatore. Io avrei fatto in questo modo:

$ln(cos(x))=ln(1+cos(x)-1)$

$t=ln(cos(x)-1)=-(x^2/2)+o(x^2)$

quindi $ln(1+cos(x)-1)$ diventa $ln(1+t)$ che è uno sviluppo noto:

$ln(1+t)=t-t^2/2+o(x^2)$ cioè $-(x^2/2)-((-(x^2/2))^2)/2+o(x^2)$

cosa sbaglio?? Grazie

[Quinzio]

Ti basta fermarti al primo grado o al secondo per $e^x$.
$e^{x+o(x^2)}-1-x = 1+x+(x^2)/2+o(x^2)-1-x=(x^2)/2+o(x^2)$

$log(cosx)=log(1-(x^2)/2+o(x^2))=-(x^2)/2+o(x^2)$

dividi, viene -1

[streglio-votailprof]

"Quinzio":

$log(cosx)=log(1-(x^2)/2+o(x^2))=-(x^2)/2+o(x^2)$

dividi, viene -1

Scusatemi ma è proprio questo il passaggio che non capisco.
In $log(1-(x^2)/2+o(x^2))$ riconosco in generale lo sviluppo di: $ln(1-t)=-t-(t^2)/2+o(x^2)$

La soluzione di Quinzio non la riconosco forse perchè ci fermiamo solo a $-t$ dello svilutto di $ln(1-t)$
che sostituendo $-(x^2)/2+o(x^2)$ alla $-t$ raggiungiamo qui il secondo grado e non c'è bisogno di andare avanti anche con $-(t^2)/2$.
Ma se cosi fosse, $ln(1-t)=-t $ non sarebbe uguale a $-(-(x^2)/2+o(x^2))= +(x^2)/2+o(x^2)$??

Chiedo scusa della confusione ma spero di essere riuscito a farmi capire!

[Seneca1]

Vedilo così... Poiché $log( 1 + y ) = y + o(y)$, hai che:

$log(1 + (-(x^2)/2+o(x^2))) = - ( (x^2)/2+o(x^2) ) = - x^2/2 + o(x^2)$