Svliluppoi di Taylor

[cancellic]

dato lo sviluppo $sin(x)= x + o(x)$ dove intendo con o(x) una funzione tale per cui o(x)/x, come posso dedurre che lo sviluppo arrestato al primo ordine di $ sin(x^2)$ sia $ sin(x^2)= x^2 + o(x^2)$
grazie

[Mr.X1]

Se potresti essere leggermente più chiaro

[Mr.X1]

Ok. Mi sa che quel $sin(x^2)$ = $x^2$+o(x^2) è arretsato al secondo ordine. Basta utilizzare la formula dello sviluppo in serie di Taylor e vedi che quel $x^2$ esce fuori dalla derivata seconda

[cancellic]

se semplicemente sviluppo sin(x²) arrestando al secondo ordine va bene, ma so che si puo dimostrare che semplicemente sostituendo x² alla x nello sviluppo della sin(x) si ottiene la stessa formula, senza derivare quindi sin(x²), ma derivando sin(x) e poi sostituendo, come mai?

[Mr.X1]

Perchè è la stessa cosa. se consideri $sin(x^2)$=$x^2$+$o(x^2)$ e poi poni ad esempio $y=x^2$ hai $sin(y)=y+o(y)$

[dissonance]

@Mr.X: Eh ma quanto dici non dimostra nulla. Il vero motivo per cui sostituzioni come queste portano a risultati corretti è il Teorema sul limite della funzione composta (non so se lo conoscete con un altro nome).

P.S: @cancellic: Presumo che tu intenda ${o(x)}/x\to 0$ per $x\to0$ come definizione di $o$ piccolo.