Sviluppo taylor ordine k
ciao, devo trovare lo sviluppo di Taylor fino all'ordine k della funzione
$ f(x,y)=xe^(xy) $
allora ho pensato di iniziare a calcolare le derivate e cercare una relazione che le lega:
$ f_x=e^(xy)+xy e^(xy) $
$ f_y=xy e^(xy) $
$ f_(x x=2ye^(xy)+xy e^(xy) $
$ f_(y y= x(e^(xy)+xy e^(xy))=xf_x $
$ f_(x y= y(e^(xy)+xy e^(xy))=yf_x $
e cosi via, ma non ho trovato nessuna relazione
suggerimenti??? grazie
$ f(x,y)=xe^(xy) $
allora ho pensato di iniziare a calcolare le derivate e cercare una relazione che le lega:
$ f_x=e^(xy)+xy e^(xy) $
$ f_y=xy e^(xy) $
$ f_(x x=2ye^(xy)+xy e^(xy) $
$ f_(y y= x(e^(xy)+xy e^(xy))=xf_x $
$ f_(x y= y(e^(xy)+xy e^(xy))=yf_x $
e cosi via, ma non ho trovato nessuna relazione
suggerimenti??? grazie
Risposte
Per iniziare, si può osservare che la serie si può scrivere come segue:
$f(x,y)= x \sum_{0}^{\infty} \frac{(xy)^k}{k!}$
tuttavia mi sembra di capire che non è questo che stavi cercando.
Provando ad andare avanti a derivare [ho semplicemente iterato il procedimento che hai scritto tu, ho valutato ogni derivata in $x=0$ e ho sommato i termini della serie], ho trovato la serie di Taylor in $x=0$:
$f(x,y) \approx x+x^2 y+(x^3 y^2)/2+(x^4 y^3)/6+(x^5 y^4)/24+(x^6 y^5)/120+...$ dove il primo addendo corrisponde alla derivata di ordine $1$, il secondo alla derivata di ordine $2$,...,....
Quindi, la serie di Taylor in $x=0$ si può scrivere come segue: $\sum_{j=1}^{k}\frac{x^{j} y^{j-1}}{j!}$.
$f(x,y)= x \sum_{0}^{\infty} \frac{(xy)^k}{k!}$
tuttavia mi sembra di capire che non è questo che stavi cercando.
Provando ad andare avanti a derivare [ho semplicemente iterato il procedimento che hai scritto tu, ho valutato ogni derivata in $x=0$ e ho sommato i termini della serie], ho trovato la serie di Taylor in $x=0$:
$f(x,y) \approx x+x^2 y+(x^3 y^2)/2+(x^4 y^3)/6+(x^5 y^4)/24+(x^6 y^5)/120+...$ dove il primo addendo corrisponde alla derivata di ordine $1$, il secondo alla derivata di ordine $2$,...,....
Quindi, la serie di Taylor in $x=0$ si può scrivere come segue: $\sum_{j=1}^{k}\frac{x^{j} y^{j-1}}{j!}$.
e la prima formula che hai scritto, quella a cui alla fine sono arrivata anche io, non va bene per $1 <= i <= k$ ???
"miry77":
e la prima formula che hai scritto, quella a cui alla fine sono arrivata anche io, non va bene per $1 <= i <= k$ ???
Non mi è chiarissima la domanda, ti riferisci a $f(x,y) \approx x \sum_{j=1}^{k}\frac{(xy)^k}{k!}$?
Perché fai partire la sommatoria da $1$?
da zero scusami !... volevo dire, è corretto scrivere: $ f(x,y)~~xsum_(i=0)^k(xy)^k/(k! $ ?
ti ringrazio
ti ringrazio
"miry77":
da zero scusami !... volevo dire, è corretto scrivere: $ f(x,y)~~xsum_(i=0)^k(xy)^k/(k! $ ?
Sì, certo. Oppure: $ f(x,y)=xsum_(i=0)^k(xy)^k/(k!)+R_{k} $ dove $R_k $ è il resto.
ok perfetto 
grazie mille !
grazie mille !
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