Sviluppo Taylor Ed Integrali
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
$ int_(0)^(x) (sqrt(1 - 6t^7) - 1 / 4 t^3 *cos(sqrt8 t^2) + 1 / 4 t^3 + 1 ) dt$ per $ xrarr 0 $ ,
confermate che PARTE PRINCIPALE: $ -2t^7+2+o(t^7) $ e quindi ORDINE INFINITESIMO: $7$?
Perchè sul libro non mette il due e di conseguenza viene tutto errato.
Grazie!
circa questo esercizio:
$ int_(0)^(x) (sqrt(1 - 6t^7) - 1 / 4 t^3 *cos(sqrt8 t^2) + 1 / 4 t^3 + 1 ) dt$ per $ xrarr 0 $ ,
confermate che PARTE PRINCIPALE: $ -2t^7+2+o(t^7) $ e quindi ORDINE INFINITESIMO: $7$?
Perchè sul libro non mette il due e di conseguenza viene tutto errato.
Grazie!
Risposte
Ma devi valutare il limite dell'integrale?
Qual è la traccia dell'esercizio?
P.S.: Inoltre mi sfugge come qualcosa che non tende a zero possa essere un infinitesimo (addirittura di ordine $7$)...
Qual è la traccia dell'esercizio?
P.S.: Inoltre mi sfugge come qualcosa che non tende a zero possa essere un infinitesimo (addirittura di ordine $7$)...
Effettivamente messa così è strano. Chiedo venia. Rettifico.
La traccia dell'esercizio è: Calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale della seguente funzione rispetto alla funzione campione $g(x) = x$ per $x rarr 0$.
La traccia dell'esercizio è: Calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale della seguente funzione rispetto alla funzione campione $g(x) = x$ per $x rarr 0$.
Il risultato da me scritto è solo lo sviluppo di Taylor di $f(x)$ e successivamente si integra quest'ultimo (ma questo non è un problema). Ero solo dubbioso circa lo sviluppo perchè sul libro il termine noto (il $2$) non lo scrive e secondo me è errato.
Probabilmente c'è un errore nel testo dell'esercizio.
Visto che l'integrando $f$ è di classe $C^\infty$ intorno a $0$, la funzione integrale $F$ è pure di classe $C^\infty$ intorno a $0$ ed ha:
\[
\begin{split}
F(0) &= 0\\
\forall n\in \mathbb{N},\quad F^{(n+1)}(0) &= f^{(n)}(0)\; .
\end{split}
\]
Dunque i coefficienti di MacLaurin di $F$ si ottengono da quelli di $f$ usando la relazione:
\[
\frac{F^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}\ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\]
(cioè i termini di grado $\geq 1$ del polinomio di MacLaurin di $F$ si ottengono integrando i termini del polinomio di MacLaurin di $f$); dato che:
\[
f(x) = 2 -2x^7 + \text{o}(x^7)\; ,
\]
hai:
\[
F(x) = 2x - \frac{1}{4} x^8 + \text{o}(x^8)\; ,
\]
cosicché $F$ è infinitesima d'ordine $1$ (c'era da aspettarselo, perché $F^\prime (0) = f(0)\ne 0$).
Venendo al probabile errore... Secondo me ci dovrebbe essere un $-1$ come termine noto nell'integrando.
In tal caso, infatti, avresti:
\[
f(x) = -2x^7 + \text{o}(x^7)\; ,
\]
perciò:
\[
F(x) = -\frac{1}{4} x^8 + \text{o}(x^8)
\]
sarebbe un infinitesimo d'ordine $8$.
Visto che l'integrando $f$ è di classe $C^\infty$ intorno a $0$, la funzione integrale $F$ è pure di classe $C^\infty$ intorno a $0$ ed ha:
\[
\begin{split}
F(0) &= 0\\
\forall n\in \mathbb{N},\quad F^{(n+1)}(0) &= f^{(n)}(0)\; .
\end{split}
\]
Dunque i coefficienti di MacLaurin di $F$ si ottengono da quelli di $f$ usando la relazione:
\[
\frac{F^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}\ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\]
(cioè i termini di grado $\geq 1$ del polinomio di MacLaurin di $F$ si ottengono integrando i termini del polinomio di MacLaurin di $f$); dato che:
\[
f(x) = 2 -2x^7 + \text{o}(x^7)\; ,
\]
hai:
\[
F(x) = 2x - \frac{1}{4} x^8 + \text{o}(x^8)\; ,
\]
cosicché $F$ è infinitesima d'ordine $1$ (c'era da aspettarselo, perché $F^\prime (0) = f(0)\ne 0$).
Venendo al probabile errore... Secondo me ci dovrebbe essere un $-1$ come termine noto nell'integrando.
In tal caso, infatti, avresti:
\[
f(x) = -2x^7 + \text{o}(x^7)\; ,
\]
perciò:
\[
F(x) = -\frac{1}{4} x^8 + \text{o}(x^8)
\]
sarebbe un infinitesimo d'ordine $8$.
Si scusa, ho sbagliato a scrivere l'ordine e la parte principale. Comunque è la mia stessa conclusione. Bene grazie!
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