Sviluppo taylor
Raga qualcuno mi saprebbe dire come scrivere (x+1)^1/x con taylor? in realtà dovrei fare log(x+1)^1/x
Risposte
Dipende per quale limite tu lo stia calcolando, ma presumendo che sia
$ \lim_{x\to 0} log(x+1)^(1/x)$ devi svolgerlo portando davanti al logaritmo $ 1/x $ ovvero:
$ \lim_{x\to 0} (1/x)*log(x+1) $ e poi applichi l'approssimazione notevole di taylor per $ log(x+1) $
$ \lim_{x\to 0} log(x+1)^(1/x)$ devi svolgerlo portando davanti al logaritmo $ 1/x $ ovvero:
$ \lim_{x\to 0} (1/x)*log(x+1) $ e poi applichi l'approssimazione notevole di taylor per $ log(x+1) $
"MementoMori":
Dipende per quale limite tu lo stia calcolando, ma presumendo che sia
$ \lim_{x\to 0} log(x+1)^(1/x)$ devi svolgerlo portando davanti al logaritmo $ 1/x $ ovvero:
$ \lim_{x\to 0} (1/x)*log(x+1) $ e poi applichi l'approssimazione notevole di taylor per $ log(x+1) $
quindi devo moltiplicare per 1/x tutto lo sviluppo di taylor?
Si, "tutto", basta l'approssimazione a $ x+o(x) $
"MementoMori":
Si, "tutto", basta l'approssimazione a $ x+o(x) $
il limite è questo $ lim x->oo (log(1+1/x)^x-1)x $ quindi ho sostituito y= $ y=1/x $ quindi $ lim y->0 (log(1+y)^(1/y)-1)1/y $
Però se vado a sostituire y nel logaritmo mi viene (y/y)-1 $ ((y/y)-1)/y $ e il risultato dovrebbe essere -1/2,sapresti dirmi dove ho sbagliato? grazie
Certo perchè l'approssimazione che ti ho riportato prima andava bene per quel particolare caso, in tale esercizio invece sei obbligato ad approssimare a: $ log(1+y)=y-y^2/2 +o(y^2) $ , in tale modo risolvi la forma indeterminata
"MementoMori":
Certo perchè l'approssimazione che ti ho riportato prima andava bene per quel particolare caso, in tale esercizio invece sei obbligato ad approssimare a: $ log(1+y)=y-y^2/2 +o(y^2) $ , in tale modo risolvi la forma indeterminata
e la potenza 1/y?
$ 1/y $ lo lasci invariato
$ \lim_{y\to 0} [(1/y)*(y-y^2/2 +o(y^2))-1]*(1/y)$
$ \lim_{y\to 0} [(1/y)*(y-y^2/2 +o(y^2))-1]*(1/y)$
"MementoMori":
$ 1/y $ lo lasci invariato
$ \lim_{y\to 0} [(1/y)*(y-y^2/2 +o(y^2))-1]*(1/y)$
ok grazie mille gentilissimo,il mio dubbio era come comportarmi quando avevo tipo qualcosa elevato alla alfa,quindi basta moltiplicare per alfa giusto?
Si puoi sviluppare con taylor e poi elevare ad alfa
"MementoMori":
Si puoi sviluppare con taylor e poi elevare ad alfa
elevare o moltiplicare ? perchè era $ log(1+x)^(1/x) $ e l'ho scritto come $ log(1+x)1/x$
Dipende dai casi, li hai sfruttato le proprietà dei logaritmi
"MementoMori":
Dipende dai casi, li hai sfruttato le proprietà dei logaritmi
giusto! ad esempio $ 3^x $ wolfram lo scrive come $ 1+xlog(3)+1/2x^2log^2(3)+1/6x^3log^3(3) $ ma non ho capito perchè..
Wolfram sta semplicemente usando la definizione di polinomio di Taylor...
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