Sviluppo McLaurin/Taylor su limite

[tantoperfare]

Ciao a tutti!!
Sto preparando il mio esame di Analisi 1 e, questa mattina mi sono imbattuto in
un limite che mi lascia un pò perplesso. In particolare non capisco fino in fondo uno
sviluppo fatto con mclaurin/taylor.
Infatti il limite richiesto, per x -> 0 é:

$ (e^(−x^2)−1−sin^2(x))/log(cos(3x)) $

Il mio problema nasce al denominatore... Infatti del $ log(1+x) $ ho lo sviluppo di mclaurin
e riesco a raggirare il problema trasformandolo in $ log(cos(3x)+1-1) $
Adesso quindi applico lo sviluppo: $ x - x^2/2 +o(x^2) $ ... ora però devo ho come x il $ cos(3x) $ .
Devo svolgere lo sviluppo anche di questo e come?? Cioè sviluppando verrebbe:

$ log(cos(3x)+1-1) = cos(3x) - (cos(3x)/2)^2 -1 $

e adesso sviluppo il coseno?!?

Grazie

[21zuclo]

Ti consiglio di cliccare qui, ti spiega come scrivere le formule matematiche.

Così qualcuno sarà più disponibile ad aiutarti.

[tantoperfare]

Fatto... Grazie della dritta!

[ciampax]

Di solito quando si affrontano gli sviluppi è sempre meglio partire dall'interno, piuttosto che dall'esterno. Ricorda che $\cos t=1-t^2/2+t^4/{24}+o(t^4)$. Allora puoi scrivere

$$\log(\cos(3x))=\log\left(1-\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^4}{8}+o(x^4)\right)=-\frac{9x^2}{2}+o(x^2)$$

(gli altri termini risultano superflui).

[tantoperfare]

Ma quindi mi conviene prima sviluppare il coseno all'interno del logaritmo
lasciando così $ log (1-9/2x^2) $ e poi applicare lo sviluppo del
logaritmo stesso?!

[ciampax]

Eh sì, come vedi è più semplice.

[tantoperfare]

Perfetto!! Grazie mille