Sviluppo Maclaurin

[lallir]

Ho dei problemi nel sviluppare al 4°ordine la funzione
$ f(x)=(x/(3+2x))^2 $
Vedo la funzione come
$ f(x)=(x/3*1/(1+2/3x))^2 $
Applicando gli sviluppi
$ f(x)=(x/3*(1-2/3x+4/9x^2-64/27x^3+256/81x^4+o(x^4)))^2 $
Moltiplicando
$ f(x)=(1/3x-2/9x^2+4/27x^3-64/81x^4+256/243x^5+o(x^5)))^2 $
E svolgendo il quadrato
$ f(x)=1/9x^2-4/27x^3+20/81x^4 $

Cosa sto sbagliando?
Grazie mille in anticipo.

[Brancaleone1]

E' spossante... comunque:

$f(x)=(x/(3+2x))^2 => f(0)=0$

$f'(x)=(6x)/(2x+3)^3 =>f'(0)=0$

$f''(x)=(6(3-4x))/(2x+3)^4 =>f''(0)=2/9$

$f'''(x)=(72(2x-3))/(2x+3)^5=>f'''(0)=-8/9$

$f^(iv)(x)=(288(9-4x))/(2x+3)^6=>f^(iv)(0)=32/9$

$=>f(x)=(x/(3+2x))^2 = x^2/9-(4x^3)/27+(4x^4)/27+x^4 omega(x)$

[Noisemaker]

"Brancaleone":E' spossante... comunque:

$f(x)=(x/(3+2x))^2 => f(0)=0$

$f'(x)=(6x)/(2x+3)^3 =>f'(0)=0$

$f''(x)=(6(3-4x))/(2x+3)^4 =>f''(0)=2/9$

$f'''(x)=(72(2x-3))/(2x+3)^5=>f'''(0)=-8/9$

$f^(iv)(x)=(288(9-4x))/(2x+3)^6=>f^(iv)(0)=32/9$

$=>f(x)=(x/(3+2x))^2 = x^2/9-(4x^3)/27+(4x^4)/27+x^4 omega(x)$

ammirevole la pazienza!

[lallir]

Sì ma se dovessi svilupparlo senza calcolarmi tutte le derivate?
Cosa sbaglio?

[Brancaleone1]

"lallir":Sì ma se dovessi svilupparlo senza calcolarmi tutte le derivate?

Se ci riesci ti prego di avvisarmi: interesserebbe molto anche a me trovare un metodo più rapido

[lallir]

$ f(x)=(x/3*1/(1+2/3x))^2 $
Posto $ -t=2/3x $
Ed utilizzando gli sviluppi notevoli di $ 1/(1-t) $
$ f(x)=(x/3*(1-2/3x+4/9x^2+o(x^2)))^2 $
$ f(x)=(x/3-2/9x^2+4/27x^3+o(x^3)))^2 $
$ f(x)=x^2/9-4/27x^3+4/81x^4+8/81x^4+o(x^4) $

[Brancaleone1]

"lallir":$ f(x)=(x/3*1/(1+2/3x))^2 $
Posto $ -t=2/3x $
Ed utilizzando gli sviluppi notevoli di $ 1/(1-t) $
$ f(x)=(x/3*(1-2/3x+4/9x^2+o(x^2)))^2 $
$ f(x)=(x/3-2/9x^2+4/27x^3+o(x^3))^2 $
$ f(x)=x^2/9-4/27x^3+4/81x^4+8/81x^4+o(x^4) $

C'è un errore nello sviluppo finale... ma sì, verrebbe uguale
NB: attento nello sviluppo di $o(x)$

"lallir":Sì ma se dovessi svilupparlo senza calcolarmi tutte le derivate?

Avevo capito che non avresti impiegato alcun tipo di derivazione

[lallir]

"Brancaleone":[quote="lallir"]$ f(x)=(x/3*1/(1+2/3x))^2 $
Posto $ -t=2/3x $
Ed utilizzando gli sviluppi notevoli di $ 1/(1-t) $
$ f(x)=(x/3*(1-2/3x+4/9x^2+o(x^2)))^2 $
$ f(x)=(x/3-2/9x^2+4/27x^3+o(x^3))^2 $
$ f(x)=x^2/9-4/27x^3+4/81x^4+8/81x^4+o(x^4) $

C'è un errore nello sviluppo finale... ma sì, verrebbe uguale
NB: attento nello sviluppo di $o(x)$

"lallir":Sì ma se dovessi svilupparlo senza calcolarmi tutte le derivate?

Avevo capito che non avresti impiegato alcun tipo di derivazione [/quote]
Potresti farmi presente che errore ho commesso nell'ultimo sviluppo?
Grazie mille