Sviluppo integrale
Buongiorno a tutti,
Sto leggendo un articolo nel quale mi sono imbattuto il questo integrale:
\(\displaystyle
\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ a ( 1- b^2)}{(1-b^2sin^2(\theta)} \mathrm{d}\theta
\)
l'autore scrive che l'integrale si può espandere (non dice con che metodo) nella seguente serie:
\(\displaystyle
A * (\theta_2 - \theta_1) - B(sin(2\theta_2) - sin(2\theta_1)) - C(sin(3\theta_2) - sin(3\theta_1) - ... )
\)
Volevo chiedere se qualcuno è a conoscenza di che sviluppo è stato
Vi ringrazio in anticipo.
Sto leggendo un articolo nel quale mi sono imbattuto il questo integrale:
\(\displaystyle
\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{ a ( 1- b^2)}{(1-b^2sin^2(\theta)} \mathrm{d}\theta
\)
l'autore scrive che l'integrale si può espandere (non dice con che metodo) nella seguente serie:
\(\displaystyle
A * (\theta_2 - \theta_1) - B(sin(2\theta_2) - sin(2\theta_1)) - C(sin(3\theta_2) - sin(3\theta_1) - ... )
\)
Volevo chiedere se qualcuno è a conoscenza di che sviluppo è stato
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
La funzione integranda \(f=f(\theta)\) è pari e \(2\pi\)-periodica, quindi la sua serie di Fourier contiene solo coseni:
\[
f(\theta)=A + B\cos \theta + C\cos 2\theta+\ldots\]
Integrando membro a membro,
\[
\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(\theta)\,d\theta = A(\theta_2-\theta_1) + B(\sin \theta_2 - \sin \theta_1) + \frac{C}{2}(\sin (2\theta_2)-\sin(2\theta_1))+\ldots\]
\[
f(\theta)=A + B\cos \theta + C\cos 2\theta+\ldots\]
Integrando membro a membro,
\[
\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(\theta)\,d\theta = A(\theta_2-\theta_1) + B(\sin \theta_2 - \sin \theta_1) + \frac{C}{2}(\sin (2\theta_2)-\sin(2\theta_1))+\ldots\]
Grazie mille! ora ha tutto un senso.
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