Sviluppo in serie $x\cot x$
Ciao, amici! Leggo che la formula di Eulero porge per ogni \(x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\),\[x\cot x=1-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^2 \pi^2 -x^2}.\]
A quale formula di Eulero si riferisce secondo voi il testo? Da \(e^{i x}=\cos x +i \sin x\) non saprei come ricavare quest'identità...
$+\infty$ grazie a tutti!!!
A quale formula di Eulero si riferisce secondo voi il testo? Da \(e^{i x}=\cos x +i \sin x\) non saprei come ricavare quest'identità...
$+\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Il prodotto di Weierstrass per la funzione seno fornisce la seguente identità:
\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \),
valida per ogni numero complesso \(x\) diverso da zero. Considerando il logaritmo di ambo i membri e derivandolo rispetto alla variabile \(x\) (una volta provato che ciò è lecito) l'identità riportata per la cotangente segue immediatamente.
\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \),
valida per ogni numero complesso \(x\) diverso da zero. Considerando il logaritmo di ambo i membri e derivandolo rispetto alla variabile \(x\) (una volta provato che ciò è lecito) l'identità riportata per la cotangente segue immediatamente.
$+\infty$ grazie! Quindi devo prima imparare un po' di analisi complessa per poter capire la fattorizzazione di Weierstrass.
Molto affascinante questo teorema, ed affascinante la sua storia: per adesso mi sono letto l'approccio euristico di Eulero... ma ho appena ordinato un libro di analisi complessa!
Molto affascinante questo teorema, ed affascinante la sua storia: per adesso mi sono letto l'approccio euristico di Eulero... ma ho appena ordinato un libro di analisi complessa!
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