Sviluppo in serie in punti particolari
Salve a tutti, già tempo fa chiesi riguardo un problema simile senza aver chiarito il mio dubbio.
Considero l'esempio più semplice che mi viene in mente: $f(x)=e^(1/x) $ e supponiamo un esercizio sia quello di sviluppare $f(x)$ in un intorno di $x_0=0 $. La procedura che ho trovato dappertutto ( ovviamente corretta) è la seguente:
-Pongo $1/x=t $ .
- Lo sviluppo in $t $ è $ f(t)=1+t+t^2/(2!)+t^3/(3!) ......$ (*)
- Risostituendo $x$ ottengo lo sviluppo : $f(x)=1+1/x+1/(2x^2) +1/(3!x^3)...$ (**)
La questione che mi crea problemi è la seguente: la richiesta era quella di sviluppare $f(x)$ in un intorno di 0. Lo sviluppo (*) è lo sviluppo di Mc-Laurin della funzione esponenziale ovvero un'approssimazione di $f(t)$ in un intorno di $t=0$. Se questo è vero, vuol dire che la (**) vale solo quando $t=1/x$ è prossimo allo 0, ovvero $x$ è prossimo a infinito. Quest'ultimo fatto va in contrasto con la richiesta iniziale che era quella di sviluppare con $x$ in un intorno di 0. Dove sta l'errore?
Considero l'esempio più semplice che mi viene in mente: $f(x)=e^(1/x) $ e supponiamo un esercizio sia quello di sviluppare $f(x)$ in un intorno di $x_0=0 $. La procedura che ho trovato dappertutto ( ovviamente corretta) è la seguente:
-Pongo $1/x=t $ .
- Lo sviluppo in $t $ è $ f(t)=1+t+t^2/(2!)+t^3/(3!) ......$ (*)
- Risostituendo $x$ ottengo lo sviluppo : $f(x)=1+1/x+1/(2x^2) +1/(3!x^3)...$ (**)
La questione che mi crea problemi è la seguente: la richiesta era quella di sviluppare $f(x)$ in un intorno di 0. Lo sviluppo (*) è lo sviluppo di Mc-Laurin della funzione esponenziale ovvero un'approssimazione di $f(t)$ in un intorno di $t=0$. Se questo è vero, vuol dire che la (**) vale solo quando $t=1/x$ è prossimo allo 0, ovvero $x$ è prossimo a infinito. Quest'ultimo fatto va in contrasto con la richiesta iniziale che era quella di sviluppare con $x$ in un intorno di 0. Dove sta l'errore?
Risposte
il punto è che lo sviluppo lo puoi fare in un intorno di un punto assegnato $x_0\in \dom f,$ e non in un punto che non appartiene al domino; (**) infatti si riferisce allo sviluppo della funzione in un intorno opportuno di $x_0=+\infty$ e non a $x_0=0,$ che che non appartiene al dominio di $f;$ quindi sviluppare quella funzione in $x=0$ non ha senso
tant'è che il teorema di Taylor recita cosi:
Sia $f$ una funzione derivabile $n$ volte in $x_0.$ Allora esiste un polinomio $T_n(x)$ che
ha "contatto" di ordine $n$ con $f(x)$ in $x_0$ (per $x → x_0$). Tale polinomio ha la seguente espressione
\begin{align*}
T _n( x)& = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n \\
&= \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k
\end{align*}
e quindi è chiaro dall'enunciato, che dovendo essere derivabile $n-$volte nel punto $x_0$ in tale punto deve essere sen'altro continua, e dunque $x_0$ deve appartenere al dominio di $f$
tant'è che il teorema di Taylor recita cosi:
Sia $f$ una funzione derivabile $n$ volte in $x_0.$ Allora esiste un polinomio $T_n(x)$ che
ha "contatto" di ordine $n$ con $f(x)$ in $x_0$ (per $x → x_0$). Tale polinomio ha la seguente espressione
\begin{align*}
T _n( x)& = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+ { {f^{\prime \prime}(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n \\
&= \sum_{k=0}^n {{f^{(k)}(x_0)}\over k!}(x-x_0)^k
\end{align*}
e quindi è chiaro dall'enunciato, che dovendo essere derivabile $n-$volte nel punto $x_0$ in tale punto deve essere sen'altro continua, e dunque $x_0$ deve appartenere al dominio di $f$
Perfetto. Allora supponiamo di voler sviluppare in serie di Laurent $ f(z) = sin(1/(z+1)) $ intorno a $z=-1$. Pongo $z+1=t$ e sviluppo $sin(1/t) $ con Maclaurin in un intorno di $1/t=0 $ ovvero $t->+oo$. Successivamente sostituendo ottengo una serie di potenze di $(z-1)$. Lo sviluppo finale è quello di $f(z)$ in una corona circolare centrata in $-1 $ con raggio infinito, quindi è lecito avere $z->+oo $ ( cosa che ho detto implicitamente affermando $t->+oo $). In definitiva, ho sfruttato lo sviluppo di Maclaurin di $f(t)=sin(1/t) $ intorno a $+oo$ per arrivare a quello di Laurent nella corona circolare di cui prima....è corretto?
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