Sviluppo in serie di Taylor-Maclaurin
Un saluto a tutti,
avrei bisogno di una mano per un esercizio. (Spero solo non sia una cosa troppo banale
)
Il testo recita questo:
"Si consideri la funzione
$ f(x) = {(1/x*ln(1+x),if x in text{]} -1 text{,} +\infty text{[} \\ {0} ),(1, if x=0):} $
Si determini lo sviluppo in serie di Taylor-Maclaurin di f."
Ora, sapendo che
$ ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}*x^n/n $
si ha
$ 1/x*ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty] (-1)^{n+1}*x^{n-1}/n $
Ora il problema è (sempre se ho fatto giusto fin qui) per $ x = 0 $ come mi comporto?
avrei bisogno di una mano per un esercizio. (Spero solo non sia una cosa troppo banale
)Il testo recita questo:
"Si consideri la funzione
$ f(x) = {(1/x*ln(1+x),if x in text{]} -1 text{,} +\infty text{[} \\ {0} ),(1, if x=0):} $
Si determini lo sviluppo in serie di Taylor-Maclaurin di f."
Ora, sapendo che
$ ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1}*x^n/n $
si ha
$ 1/x*ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty] (-1)^{n+1}*x^{n-1}/n $
Ora il problema è (sempre se ho fatto giusto fin qui) per $ x = 0 $ come mi comporto?
Risposte
non credo si debba considerare quel caso. se fai attenzione per x-->0 f(x) tende a 1 quindi è un'estensione naturale della funzione quella non credi?
può darsi stia dicendo una cosa sbagliata poiché i polinomi di taylor li ho studiati da poco
può darsi stia dicendo una cosa sbagliata poiché i polinomi di taylor li ho studiati da poco
Quel $f(0)=1$ serve solo a rendere "continua" la funzione. Poi però, per applicare Taylor, dovresti dimostrare che la funzione stessa è derivabile ($n$ volte, quante ne hai bisogno) in $x=0$. Come faresti a far vedere, per esempio, che almeno $f'(0)$ esiste finito?
Grazie a entrambi, ora la cosa è più chiara.
Sarà anche più chiara, ma non hai risposto alla mia domanda... e questa cosa pone il seguente problema: come fai ad essere sicuro di poter calcolare lo sviluppo di Taylor, se non verifichi la condizione che ti ho suggerito io?
Sinceramente non saprei rispondere alla tua domanda. :\
Quale è la definizione di derivabilità in un punto? La conosci? Basta usare quella.
Ok.
Quindi, affinché la funzione sia derivabile nel punto $ x = 0 $, devono esistere finiti ed uguali
$ lim_(h->0^+)(f(h)-f(0))/h $ e $ lim_(h->0^-)(f(h)-f(0))/h $
Siccome nel nostro caso entrambi i limiti non sono finiti, devo dedurre che la funzione non è derivabile nel punto $ x = 0 $, giusto?
Quindi, affinché la funzione sia derivabile nel punto $ x = 0 $, devono esistere finiti ed uguali
$ lim_(h->0^+)(f(h)-f(0))/h $ e $ lim_(h->0^-)(f(h)-f(0))/h $
Siccome nel nostro caso entrambi i limiti non sono finiti, devo dedurre che la funzione non è derivabile nel punto $ x = 0 $, giusto?
Houston, abbiamo un problema: a me quei limiti vengono $-1/2$. Tra l'altro, se come dici tu non fosse derivabile in $x=0$, allora lo sviluppo di Taylor (McLaurin, in realtà) non potresti scriverlo... mentre invece, almeno formalmente, prima ci sei riuscito, no? Quind c'è qualcosa che non va in ciò che dici.
Un problema?? Qua siamo in crisi nera! 
Comunque probabilmente sono molto a digiuno di limiti, ma non riesco proprio a far uscire $ -1/2 $. Il limite dovrebbe essere $ lim_{h to 0^+}(1/h*ln(1+h)-1)/h $ giusto?
Comunque probabilmente sono molto a digiuno di limiti, ma non riesco proprio a far uscire $ -1/2 $. Il limite dovrebbe essere $ lim_{h to 0^+}(1/h*ln(1+h)-1)/h $ giusto?
Il limite è quello: scrivilo come $\frac{\ln(1+h)-h}{h^2}$ e poi usa Taylor.
Eccomi qua, scusa per il ritardo, il limite è finalmente venuto $ -1/2 $
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
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