Sviluppo in serie di taylor di h(x)=(x+3)/(x^2-1)

[albisiervo]

Sviluppo in serie di taylor di h(x)=(x+3)/(x^2-1)

Salve a tutti. Ho un problema con questo sviluppo. Riesco ad arrivare a dire che é uguale a -sum (x^(2n+1)) +3*sum(x^2n)
Ma non riesco a compattare il termine in una sommatoria unica. Dato che il mio prof lo richiede esplicitamente, qualcuno sarebbe cosi gentile da mostrarmi la retta via ?

Grazie molte

[poncelet]

Non sono sicuro del tuo risultato. Potresti postare i passaggi?

[albisiervo]

(X+3)/(x^2-1)=-(x+3)/(1-x^2)=(-x+3)* sum(x^2)^n
= -sum(x^(2n+1)) + 3* sum(x^(2n))

Sum sarebbe la sommatoria da n=0 a n=+inf

[poncelet]

Non so come tu abbia calcolato lo sviluppo in serie. Io farei così:
\[
h(x)=\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}
\]
e poi ragionerei sugli addendi così ricavati (il primo è facile facile...).

[albisiervo]

Quella é l'altra alternativa, ma facendo cosi, anche li arrivo alla somma fra due sommatorie e non saprei proprio come semplificarlo. 1/(1+x) lo semplifichi anche tu usando la derivata in serie di ln(1+x)?

In poche parole non riesco ad unire quella somma di sommatorie

[poncelet]

Allora io farei così:
\[
\frac{2}{x-1}=-2\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} \qquad \text{per} \quad |x|<1
\]
\[
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}
\]
e quindi
\[
\frac{x+3}{x^{2}-1}=-\sum_{n=0}^{\infty}(2+(-1)^{n})x^{n}
\]

[albisiervo]

Grazie!