Sviluppo in serie di taylor di funzioni composte
Ciao a tutti, sto cercando di capire il modo giusto di sviluppare in serie di taylor una funzione composta...in particolare mi trovo davanti a questa funzione :
$ [cos (x)]^tan (x) $
Che non so come sviluppare...so per esempio che se ho $ e^tan(x) $ posso sviluppare la tangente e poi inserire il suo sviluppo al posto della x nello sviluppo di $ e^x $ .
Ma nel caso del coseno non so proprio come comportarmi...qualcuno potrebbe chiarirmi questo dubbio.
Grazie a tutti coloro che risponderanno e grazie a quelli del forum per il lavoro che ogni giorno fanno per noi.
$ [cos (x)]^tan (x) $
Che non so come sviluppare...so per esempio che se ho $ e^tan(x) $ posso sviluppare la tangente e poi inserire il suo sviluppo al posto della x nello sviluppo di $ e^x $ .
Ma nel caso del coseno non so proprio come comportarmi...qualcuno potrebbe chiarirmi questo dubbio.
Grazie a tutti coloro che risponderanno e grazie a quelli del forum per il lavoro che ogni giorno fanno per noi.
Risposte
puoi portare tutto in forma esponenziale quando hai
$(f(x))^{g(x)}= \exp(\ln((f(x))^{g(x)}))$
e qui lo stesso fai $\exp(\ln((\cos x)^{\tan x}))=\exp(\tan x\cdot \ln(\cos x))$
ora se $x\to 0$ all'esponente dell'esponenziale hai 2 quantità infinitesime, prima metti a posto quel logaritmo con dentro il coseno in questo modo $\ln(\cos x)=\ln(1-(x^2)/(2))$ (ho sviluppato al primo ordine il coseno, così ho ottenuto nel logaritmo un 1 più una quantità infinitesima)
così riscrivi $\exp(\tan x \cdot \ln(1-(x^2)/(2)))$
adesso per me sviluppa prima l'esponente all'esponenziale, poi usi lo sviluppo dell'esponenziale
se hai domande chiedi pure
$(f(x))^{g(x)}= \exp(\ln((f(x))^{g(x)}))$
e qui lo stesso fai $\exp(\ln((\cos x)^{\tan x}))=\exp(\tan x\cdot \ln(\cos x))$
ora se $x\to 0$ all'esponente dell'esponenziale hai 2 quantità infinitesime, prima metti a posto quel logaritmo con dentro il coseno in questo modo $\ln(\cos x)=\ln(1-(x^2)/(2))$ (ho sviluppato al primo ordine il coseno, così ho ottenuto nel logaritmo un 1 più una quantità infinitesima)
così riscrivi $\exp(\tan x \cdot \ln(1-(x^2)/(2)))$
adesso per me sviluppa prima l'esponente all'esponenziale, poi usi lo sviluppo dell'esponenziale
se hai domande chiedi pure
Grazie davvero, spiegazione chiarissima! mi hai tolto un dubbio enorme 
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