Sviluppo in Serie di Taylor - Appello AnalisiA
Ciao a tutti ieri purtroppo ho dato l'appello di analisiA, e nn credo di averlo passato...sigh...
cmq c'era un esercizio di cui vorrei sapere qualcosa:
scrivere lo sviluppo di taylor fino al grado 7 della funzione f(x)=sen(6x)*(x+x^5) attorno al punto x=0; dimostrare che saranno presenti solo termini di grado dispari.
Qualcuno sa come dimostrarlo??Perchè fare tutte le derivate fino alla settima mi sembra improponibile...un saluto
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
cmq c'era un esercizio di cui vorrei sapere qualcosa:
scrivere lo sviluppo di taylor fino al grado 7 della funzione f(x)=sen(6x)*(x+x^5) attorno al punto x=0; dimostrare che saranno presenti solo termini di grado dispari.
Qualcuno sa come dimostrarlo??Perchè fare tutte le derivate fino alla settima mi sembra improponibile...un saluto
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Risposte
prova a sviluppare sen(6x) con un polinomio di secondo grado..
sen(6x) sviluppato con taylor ammette solo gradi dispari, con x=0
perchè la serie di [(-1)^n]*[x^(2n+1)]/(2n+1)! con n da 0 a inf è proprio sen(x)
per cui la serie di [(-1)^n]*[(6x)^(2n+1)]/(2n+1)! con n da 0 a inf è sen(6x)
perchè la serie di [(-1)^n]*[x^(2n+1)]/(2n+1)! con n da 0 a inf è proprio sen(x)
per cui la serie di [(-1)^n]*[(6x)^(2n+1)]/(2n+1)! con n da 0 a inf è sen(6x)
é vero Starsea, quindi non vedo come la funzione possa essere
sviluppata con un polinomio di settimo grado con solo termini
di grado dispari..
sviluppata con un polinomio di settimo grado con solo termini
di grado dispari..
Ops scusate ho postato male la funzione è Cos(6x)*(x+x^5)...
in pratica avrei dovuto sviluppare con taylor solo il coseno e d li avrei dimostrato che i termini pari si annullano?
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in pratica avrei dovuto sviluppare con taylor solo il coseno e d li avrei dimostrato che i termini pari si annullano?
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
se non vado errato, devi sviluppare il coseno fino al sesto grado,svolgere i prodotti e poi tralasciare i termini di grado superiore a sette, quello che rimane dovrebbe essere il polinomio richiesto
ma scusa se tralascio il settimo grado cio' che risulterà non sarà lo sviluppo fino al settimo grado, o sbaglio?
Cosa intendi con svolgere i prodotti??Quali prodotti?
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
Cosa intendi con svolgere i prodotti??Quali prodotti?
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forse è più comodo farlo cosi:
Cos(6x)*(x+x^5)=Cos(6x)x +Cos(6x)x^5
adesso sviluppa il primo coseno con un polinomio di sesto grado
(dico questo perchè voglio un polinomio di settimo grado)e moltiplicalo per x, il secondo coseno con un polinomio di secondo grado e moltiplicalo per x^5,svolgendo i calcoli
ottieni il polinomio richiesto
questo procedimento dovrebbe essere corretto
Cos(6x)*(x+x^5)=Cos(6x)x +Cos(6x)x^5
adesso sviluppa il primo coseno con un polinomio di sesto grado
(dico questo perchè voglio un polinomio di settimo grado)e moltiplicalo per x, il secondo coseno con un polinomio di secondo grado e moltiplicalo per x^5,svolgendo i calcoli
ottieni il polinomio richiesto
questo procedimento dovrebbe essere corretto
Ho il dubbio che Bubba non abbia ben capito cosa deve fare ; se mi sbaglio meglio..
Lo sviluppo di Taylor di cos (6x) é : 1-18x^2+54x^4-(324/5)x^6 arrestato al termine di grado 6 in quanto poi va moltiplicato per x e si ottiene un polinomio di grado 7 .
Quindi si ha : xcos(6x) = x-18x^3+54x^5-(324/5)x^7.
Poi c'è l'altra parte da aggiungere : x^5*cos(6x) , naturalmente adesso considero , nello sviluppo di cos (6x) solo i termini fino al grado 2, perchè moltiplicati poi per x^5 si arriva al polinomio di gardo 7; dunque :
(x^5)*cos(6x) = x^5 -18x^7
adesso sommo i due contributi e ottengo :
xcos(6x)+x^5*cos(6x) = x-18x^3+55x^5-(4141/5)x^7.
Camillo
Lo sviluppo di Taylor di cos (6x) é : 1-18x^2+54x^4-(324/5)x^6 arrestato al termine di grado 6 in quanto poi va moltiplicato per x e si ottiene un polinomio di grado 7 .
Quindi si ha : xcos(6x) = x-18x^3+54x^5-(324/5)x^7.
Poi c'è l'altra parte da aggiungere : x^5*cos(6x) , naturalmente adesso considero , nello sviluppo di cos (6x) solo i termini fino al grado 2, perchè moltiplicati poi per x^5 si arriva al polinomio di gardo 7; dunque :
(x^5)*cos(6x) = x^5 -18x^7
adesso sommo i due contributi e ottengo :
xcos(6x)+x^5*cos(6x) = x-18x^3+55x^5-(4141/5)x^7.
Camillo
grazie per aver svolto i calcoli Camillo, è proprio
quello che io molto sinteticamente ho cercato di spiegare solo a parole!!
quello che io molto sinteticamente ho cercato di spiegare solo a parole!!
Ho capito che non ho ben chiaro lo sviluppo di Taylor: scusa quel che sapevo io è che serve a scrivere una funzione qualunque come polinomio di grado n, e fin qui direi che dubbi nn ce ne sono.
Pero' nn capisco: la funzione da sviluppare non era Cos(6x) e basta, ma x/Cos(6x)+x^5*Cos(6x) , se la vogliamo scrivere cosi'; e lo sviluppo di taylor definisce come coefficienti dei vari (x-x0)^n le derivate n-esime di f, non di una parte di f;
in pratica voi dite che se f è una funzione prodotto di varie funzioni lo sviluppo di taylor puo' essere fatto sviluppando solamente una di queste e moltiplicandola per le altre??!!
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
Pero' nn capisco: la funzione da sviluppare non era Cos(6x) e basta, ma x/Cos(6x)+x^5*Cos(6x) , se la vogliamo scrivere cosi'; e lo sviluppo di taylor definisce come coefficienti dei vari (x-x0)^n le derivate n-esime di f, non di una parte di f;
in pratica voi dite che se f è una funzione prodotto di varie funzioni lo sviluppo di taylor puo' essere fatto sviluppando solamente una di queste e moltiplicandola per le altre??!!
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Lo sviluppo di Taylor serve ad APPROSSIMARE una funzione con un polinomio ;la funzione che ti è stata data è prodotto di funzioni trascendenti(cos 6x ) e di x o x^5 che sono già polinomi .
Quindi il modo più semplice è di moltiplicare lo sviluppo di Taylor di cos (6x) che è facile da fare per x e per x^5.
Certo nessuno vieta di fare tutte le derivate fino alla settima della funzione completa così come è stata data, valorizzarla nel punto x=0,etc. etc. però un bel lavoraccio , facile sbagliare .
Camillo
Non avendo voglia difare i conti ho dato in pasto a Derive la funzione originaria e "lui" ha calcolato lo sviluppo di Taylor di punto iniziale x0=0( quindi sviluppo di McLaurin) , fino al settimo ordine ed è naturalmente identico a quello calcolato nel "nostro" modo.
Che poi la variabile x appaia solo con esponenti dispari nel risultato finale dipende dal fatto che cos x è funzione pari ( e infatti nello sviluppo di cos x appaiono solo termini con esponente pari), ma poi va moltiplicato per x , x^5 e quindi si hanno solo esponenti dispari.
Quindi il modo più semplice è di moltiplicare lo sviluppo di Taylor di cos (6x) che è facile da fare per x e per x^5.
Certo nessuno vieta di fare tutte le derivate fino alla settima della funzione completa così come è stata data, valorizzarla nel punto x=0,etc. etc. però un bel lavoraccio , facile sbagliare .
Camillo
Non avendo voglia difare i conti ho dato in pasto a Derive la funzione originaria e "lui" ha calcolato lo sviluppo di Taylor di punto iniziale x0=0( quindi sviluppo di McLaurin) , fino al settimo ordine ed è naturalmente identico a quello calcolato nel "nostro" modo.
Che poi la variabile x appaia solo con esponenti dispari nel risultato finale dipende dal fatto che cos x è funzione pari ( e infatti nello sviluppo di cos x appaiono solo termini con esponente pari), ma poi va moltiplicato per x , x^5 e quindi si hanno solo esponenti dispari.
Prova a sviluppare con punto iniziale x0=0 la seguente funzione molto più semplice :
y = x*(e^x) fino al quarto ordine, nei due modi cioè in un caso sviluppando solo e^x in modo opportuno e poi moltiplicando per x e nell'altro considerando la funzione un tutt'uno .
Il risultato è : x+x^2+(x^3/2) + (x^4/6).
Camillo
y = x*(e^x) fino al quarto ordine, nei due modi cioè in un caso sviluppando solo e^x in modo opportuno e poi moltiplicando per x e nell'altro considerando la funzione un tutt'uno .
Il risultato è : x+x^2+(x^3/2) + (x^4/6).
Camillo
Ok ho capito, grazie!!
Pero' non me l'hai mai detta nessuno sta cosa, non è stato gentile a metterla all'appello!!!
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Pero' non me l'hai mai detta nessuno sta cosa, non è stato gentile a metterla all'appello!!!
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