Sviluppo in serie di Taylor

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Vorrei sapere se i miei ragionamenti sono corretti:

devo provare che la funzione [tex]f(x)=3^x[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor [tex]\forall x\in ]-\infty;+\infty[[/tex]. Osservo che non posso applicare la condizione sufficiente di sviluppabilità in quanto le derivate della [tex]f[/tex] non sono equilimitate, infatti: [tex]f^{(n)}(x)=3^x(\ln 3)^n, \forall x\in ]-\infty;+\infty[, \forall n\in\mathbb{N}[/tex] ed essendo [tex]\ln 3>1[/tex], ne segue che l'insieme numerico [tex]\{\ln 3\}^n[/tex] non è limitato superiormente e quindi non esiste una maggiorazione di [tex]f^{(n)}(x)[/tex] valida [tex]\forall n\in\mathbb{N}[/tex]. Tuttavia ciò non mi consente di concludere che la [tex]f[/tex] non è sviluppabile in serie di Taylor, infatti: [tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\Big|\frac{(x-x_0)^n}{n!}3^{\xi}(\ln 3)^n\Big|=0[/tex] e quindi la [tex]f[/tex] è sviluppabile in serie di Taylor.

Attendendo delle risposte, vi ringrazio anticipatamente.

[Andrea902]

Ho provato anche a trovare una maggiorazione di [tex]f^{(n)}(x)[/tex] in ogni intervallo [tex](-\delta;\delta), \forall \delta>0[/tex] ma non sono arrivato a nulla: secondo me l'ostacolo presente per l'applicazione della condizione sufficiente è che l'espressione della derivata ennesima dipende anche da [tex]n[/tex] e quindi valgono le motivazioni di cui sopra...

[gugo82]

La condizione che usi è troppo loffia, anzi è la più loffia che c'è sul mercato.

Non è difficile rendersi conto che essa può essere generalizzata (e resa anche necessaria) così:

Una funzione [tex]$f:[a,b]\to \mathbb{R}$[/tex] di classe [tex]$C^\infty$[/tex] si può sviluppare in serie di potenze con centro in [tex]$x_0\in ]a,b[$[/tex] se e solo se esistono [tex]$C,\alpha \geq 0$[/tex] e [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tali che:

[tex]$\forall n\geq \nu,\quad |f^{(n)}(x_0)|\leq C\ n!\ \alpha^n$[/tex].

Infatti che la condizione sia sufficiente si vede andando ad applicare il criterio di Cauchy-Hadamard ai coefficienti di Taylor [tex]$a_n=\tfrac{1}{n!}\ f^{(n)}(x_0)$[/tex]; che la condizione sia necessaria, invece, si prova tenendo presente che se la serie di Taylor converge per qualche valore positivo di [tex]$r=|x-x_0|$[/tex], allora si ha:

[tex]$\lim_n \left| \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\right| r^n=0 \ \quad \Rightarrow \quad \forall n\geq \nu,\ |f^{(n)}(x_0)|\leq n!\ \left(\frac{1}{r}\right)^n$[/tex].

Nel tuo caso la condizione espressa da questo criterio è abbondantemente soddisfatta, quindi non ci sono problemi.

[Andrea902]

Nel mio caso avrei [tex]|f^{(n)}(x)|\leq n!(\ln3)^n[/tex], giusto?

In ogni caso l'argomentazione data sfruttando la condizione illustrata da me va bene?

[gugo82]

"Andrea90":Nel mio caso avrei [tex]|f^{(n)}(x)|\leq n!(\ln3)^n[/tex], giusto?

Per essere precisi, avresti [tex]$|f^{(n)}(x_0)|=3^{x_0} (\ln 3)^n\leq 3^{x_0}\ n!\ (\ln 3)^n$[/tex], quindi una stima del tipo detto in precedenza con [tex]$C=3^{x_0}, \alpha=\ln 3\geq 0$[/tex] valida addirittura per [tex]$n\geq 0$[/tex].

"Andrea90":In ogni caso l'argomentazione data sfruttando la condizione illustrata da me va bene?

Quale argomentazione?
Quella del perchè non si può usare la condizione sufficiente loffia?

[Andrea902]

"gugo82":
Per essere precisi, avresti [tex]$|f^{(n)}(x_0)|=3^{x_0} (\ln 3)^n\leq 3^{x_0}\ n!\ (\ln 3)^n$[/tex], quindi una stima del tipo detto in precedenza con [tex]$C=3^{x_0}, \alpha=\ln 3\geq 0$[/tex] valida addirittura per [tex]$n\geq 0$[/tex].

Ok, perfetto!

"gugo82":
Quale argomentazione?
Quella del perchè non si può usare la condizione sufficiente loffia?

Sì...

[gugo82]

Certo che è valida.
È proprio impossibile trovare un maggiorante per la successione [tex]$(\ln 3)^n$[/tex], dato che essa diverge.

[Andrea902]

Perfetto! E se avessi avuto la funzione [tex]f(x)=a^x,0

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[gugo82]

Purtroppo non saresti riuscito a concludere nulla nemmeno in questo caso.
Prova...

Tuttavia se prendessi [tex]$|\ln a|\leq 1$[/tex]...

[Andrea902]

"gugo82":Purtroppo non saresti riuscito a concludere nulla nemmeno in questo caso.
Prova...

Tuttavia se prendessi [tex]$|\ln a|\leq 1$[/tex]...

Non posso concludere nulla perché la successione [tex]\{[(-1)|\ln a|]^n\}[/tex] è oscillante?

Se prendo [tex]|\ln a|\leq 1[/tex] la successione risulterebbe infinitesima, giusto?

[gugo82]

Non puoi concludere nulla perchè hai:

[tex]$|f^{(n)} (x_0)|=a^{x_0} |\ln a|^n$[/tex]

e la successione a secondo membro non sempre è limitata (cosa che a te serve per applicare il criterio).

Per quanto riguarda l'altra questione, se [tex]$|\ln a|\leq 1$[/tex] la successione [tex]$|\ln a|^n$[/tex] non sempre è infinitesima: guarda bene.

[Andrea902]

Potrebbe succedere che [tex]|\ln a|=-1[/tex] e in tal caso la successione è oscillante...

[gugo82]

Un valore assoluto [tex]$=-1$[/tex] lo vedo difficile...

Ad ogni modo la successione [tex]$|\ln a|^n$[/tex] è limitata per [tex]$|\ln a|\leq 1$[/tex] (ed infinitesima solo se [tex]$|\ln a|<1$[/tex]).

[Andrea902]

Giusto! Certo, ci mancherebbe! Stavo conducendo un ragionamento parallelo e li ho fusi!
Quindi se è limitata posso trovare un maggiorante e analogamente se è infinitesima, giusto?