Sviluppo in serie di taylor????
Ciao a tutti,mi trovo a dover affrontare lo sviluppo in serie di taylor e ,a dire il vero,non ho capito molto... Ho capito che ,data una funzione f(x) devo trovare la sua derivata prima e quelle successeive fino all'ordine che mi viene dato,e poi applicare la formula di taylor.
Adesso, però, non so fare questo esertcizio:
Scrivere i primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor della funzione f(x) =1/cosx nel punto x = pi greco .
Ora calcolo la derivata prima : $ f'(x)= sinx/(cos^2x)
e la derivata seconda= $ f''(x)= (cos^3 x- senx*2cosx) /cos^4 x
Come posso fare per andare avanti??? spero che qualcuno mi possa aiutare
Grazie e scusate per il disturbo ...
Adesso, però, non so fare questo esertcizio:
Scrivere i primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor della funzione f(x) =1/cosx nel punto x = pi greco .
Ora calcolo la derivata prima : $ f'(x)= sinx/(cos^2x)
e la derivata seconda= $ f''(x)= (cos^3 x- senx*2cosx) /cos^4 x
Come posso fare per andare avanti??? spero che qualcuno mi possa aiutare
Grazie e scusate per il disturbo ...
Risposte
Allora, sai che (fino al secondo ordine) lo sviluppo è dato da:
[tex]f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)[/tex].
In questo caso sai che [tex]x_0=\pi[/tex], che è il tuo centro.
Basta calcolare i valori delle funzioni derivate in quel punto e sostituire. Ad esempio [tex]f'(\pi)=0[/tex].
Ovviamente questo sviluppo vale se la funzione è derivabile due volte.
[tex]f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)[/tex].
In questo caso sai che [tex]x_0=\pi[/tex], che è il tuo centro.
Basta calcolare i valori delle funzioni derivate in quel punto e sostituire. Ad esempio [tex]f'(\pi)=0[/tex].
Ovviamente questo sviluppo vale se la funzione è derivabile due volte.
Come dicevo tempo fa a qualcun'altro su questo forum, risolvere un esercizio sulle serie di Taylor usando le derivate è un suicidio! Il metodo giusto, invece, è quello di utilizzare gli sviluppi di Taylor (o meglio, quelli di McLaurin) che risultano "noti" e tramite sostituzione procedere al calcolo della serie volta per volta.
Il procedimento in sintesi è il seguente: volendo sviluppare la funzione $f(x)$ in $x_0$, per prima cosa effettua il cambio di variabile $t=x-x_0$ così da ottenere una nuova funzione $F(t)=f(t+x_0)$ che ora risulta sviluppabile nel punto $t_0=0$. A questo punto usando le "formule" degli sviluppi di McLaurin per le funzioni elementari quali $e^t,\ \sin t,\ \cos t,\ \log(1+t),\ (1+t)^\alpha$ scrivi lo sviluppo della funzione $F(t)$. Una volta finito, effettua la sostituzione inversa per ritornare alla variabile $x$.
vediamo come applicarlo in questo caso: per $x_0=\pi$ pongo $t=x-\pi$ da cui
[tex]$F(t)=\frac{1}{\cos(t+\pi)}=-\frac{1}{\cos t}$[/tex]
Adesso dagli sviluppi [tex]$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4),\ \frac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+o(t^3)$[/tex] ottieni
[tex]$F(t)=\frac{1}{1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac{1}{1-\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)}=$[/tex]
[tex]$=1+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2+o\left(\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2\right)=1+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$[/tex]
(avendo eliminato tutte le potenze di ordine superiore a $2$. Infine sostituendo di nuovo con la variabile $x$ si ha
[tex]$f(x)=1+\frac{1}{2}(x-\pi)^2+o((x-\pi)^2)$[/tex]
che è lo sviluppo cercato.
Il procedimento in sintesi è il seguente: volendo sviluppare la funzione $f(x)$ in $x_0$, per prima cosa effettua il cambio di variabile $t=x-x_0$ così da ottenere una nuova funzione $F(t)=f(t+x_0)$ che ora risulta sviluppabile nel punto $t_0=0$. A questo punto usando le "formule" degli sviluppi di McLaurin per le funzioni elementari quali $e^t,\ \sin t,\ \cos t,\ \log(1+t),\ (1+t)^\alpha$ scrivi lo sviluppo della funzione $F(t)$. Una volta finito, effettua la sostituzione inversa per ritornare alla variabile $x$.
vediamo come applicarlo in questo caso: per $x_0=\pi$ pongo $t=x-\pi$ da cui
[tex]$F(t)=\frac{1}{\cos(t+\pi)}=-\frac{1}{\cos t}$[/tex]
Adesso dagli sviluppi [tex]$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4),\ \frac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+o(t^3)$[/tex] ottieni
[tex]$F(t)=\frac{1}{1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac{1}{1-\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)}=$[/tex]
[tex]$=1+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2+o\left(\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{24}+o(t^4)\right)^2\right)=1+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$[/tex]
(avendo eliminato tutte le potenze di ordine superiore a $2$. Infine sostituendo di nuovo con la variabile $x$ si ha
[tex]$f(x)=1+\frac{1}{2}(x-\pi)^2+o((x-\pi)^2)$[/tex]
che è lo sviluppo cercato.
Grazie mille!ora lo rifaccio e vedo se mi trovo! solo che non ho capito una cosa: da dove viene quel $ t^4/24??? $ per il polinomio di taylor non dovrebbe essere $t^4/4$ e poi perchè nel terzultimo passaggio si scrive $ 1 + $... tec etc? uffa mi sento cosi ignorante non riesco a capire
[size=75]sistemati i "dollari " Camillo[/size]
non riesco a capire [size=75]sistemati i "dollari " Camillo[/size]
scusatemi volevo sapere come mai nel terz'ultimo passaggio hai scritto $ 1 + ....$ l'ho riscritto perchè ho visto che non si capisce nel messaggio precedente!
Il 24 è dovuto al fatto che lo sviluppo del coseno è dato da [tex]$\cos{t}=\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{t^{2n}}{(2k)!} + o(t^{2n+1})$[/tex]. Quindi al denominatore hai [tex]$4!$[/tex] in quel punto.
Per quanto riguarda il passaggio che dici, se ho ben capito il punto che intendi, ha usato lo sviluppo di [tex]$\frac{1}{1-x}$[/tex].
(Poni [tex]$x=\dots$[/tex])
Per quanto riguarda il passaggio che dici, se ho ben capito il punto che intendi, ha usato lo sviluppo di [tex]$\frac{1}{1-x}$[/tex].
(Poni [tex]$x=\dots$[/tex])
ok grazie mille! non mi trovo molto sui passaggi finali a dire il vero,ma provo un po a farlo sperando di riuscirci :S
siete stati più che gentili
siete stati più che gentili
Anzi,ecco perchè non mi trovo! perchè ti fermi all'ordine 2 eliminando tutte le potenze di ordine superiore a 2? non si dovrebbe lasciare quelle fino a 4???
Forse perché l'esercizio chiede di determinare il polinomio di ordine 2? 
ops ,ormai sono partita completamente XD sorry XD
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