Sviluppo in serie di Taylor

[faffaegnam]

Ho un dubbio lancinante come mai svolgendo questo limiti,
$lim_(x->0)(x-sen(x)+x^5)/(x^3)$
Usando lo sviluppo in serie di Taylor con n=3 ottengo :
$lim_(x->0)(1/6 + (o(x^3))/x^3) = 1/6$
mentre se lo svolgo normalmente cioè usando i limiti notevoli ho come risultato :
$lim_(x->0)(x/x^3-(sen(x)/x)*1/x^2+x^5/x^3)=0$

Ringrazio anticipatamente chi mi riesce a risolvere questo dubbio

[ostrogoto1]

E' corretto il primo risultato trovato con lo sviluppo della serie di Taylor. Nel secondo svolgimento l'uso del limite notevole equivale a uno sviluppo di Taylor arrestato all'ordine precedente e quindi segue l'errore.

[faffaegnam]

Cosa intendi con "Nel secondo svolgimento l'uso del limite notevole equivale a uno sviluppo di Taylor arrestato all'ordine precedente e quindi segue l'errore." ?

[ostrogoto1]

In altre parole il limite notevole equivale a $ sen(x)=x+o(x^2) $ per $ xrarr0 $ [se sostituisci nell'espressione del limite $ sen(x) $ con $ x $ ottieni lo stesso risultato che hai avuto con il limite notevole] che porta a uno sviluppo di Taylor di tutto il numeratore errato perche' manca il termine $ x^3 $ necessario per il confronto con il denominatore mentre lo sviluppo di Taylor $ sen(x)=x-x^3/6+o(x^4) $ arrestato al secondo ordine non tralascia $ x^3/6 $ e quindi lo sviluppo di Taylor di tutto il numeratore risulta corretto e quindi anche il risultato del limite.

[faffaegnam]

Forse credo di aver capito...è perchè abbiamo una differenza di infinitesimi e quindi anche se coincidono al primo ordine non sappiamo se coincidono anche agli ordini successivi usando il limite notevole, mentre se usiamo Taylor non commettiamo quest'errore giusto ? o sono fuori strada ?

[dissonance]

Mi sembra grosso modo lo stesso errore di cui si è discusso qui (ostrogoto può confermare o smentire):

viewtopic.php?f=36&t=138811

[jitter1]

Sì sì, era quello.
Ri-linko questa spiegazione che, oltre alle vostre, mi era servita: http://www1.mat.uniroma1.it/people/dall ... tesimi.pdf