Sviluppo in serie di Taylor

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per lo sviluppo in serie di Taylor della seguente funzione:

$1/(z-alpha)^p$ $alpha in CC$,$p>1$,$p in NN$

Tale funzione è sviluppabile in serie di Taylor in un cerchio di centro $z_0$ e raggio $|z_0-alpha|>0$.
Dato che $D^((p-1))(1/(z-alpha))=(-1)^(p-1) ((p-1)!)/(z_0-alpha)^p$ allora

$1/(z_0-alpha)^p=(-1)^(1-p)1/((p-1)!)D^((p-1))(1/(z-alpha))=$
$(-1)^p sum_(p-1)^(+oo) (n(n-1)(n-2)...(n-p+2))/((p-1)!) (z-z_0)^(n-p+1)/(alpha-z_0)^(n+1)$

A questo punto sul mio libro c'è scritto che

$1/(z_0-alpha)^p=(-1)^p sum_(p-1)^(+oo) (n(n-1)(n-2)...(n-p+2))/((p-1)!) (z-z_0)^(n-p+1)/(alpha-z_0)^(n+1)=$
$=(-1)^p sum_(p-1)^(+oo) ((n-p+2),(p-1)) (z-z_0)^(n-p+1)/(alpha-z_0)^(n+1)$

Mi sapreste spiegare l'ultimo passaggio?

[gugo82]

Qual è la definizione del coefficiente binomiale?

[sirio25788-votailprof]

"gugo82":Qual è la definizione del coefficiente binomiale?

Questo mi è chiaro . Ciò che non capisco è perché si debba considerare $((n-p+2),(p-1))$ dato che

$((n),(p-1))=(n!)/((p-1)!(n-(p-1))!)=(n(n-1)(n-2)...(n-(p-1)+1)(n-p+1)!)/((p-1)!(n-(p-1))!)=(n(n-1)(n-2)...(n-p+2))/((p-1)!)$

mentre

$((n-p+2),(p-1))=((n-p+2)!)/((p-1)!(n-p+2-(p-1))!)=((n-p+2)(n-p+1)(n-p)...(n-p+2-(p-1)+1)(n-p+2-p+1)!)/((p-1)!(n-p+2-(p-1))!)=((n-p+2)(n-p+1)(n-p)...(n-2p+4))/((p-1)!)$

[gugo82]

Beh, chiaramente c'è un errore di stampa sul testo.

Infatti:
\[
\frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-p+3)\cdot (n-p+2)}{(p-1)!} = \frac{n!}{(n-p+1)!\ (p-1)!} = \binom{n}{p-1}\; .
\]

[sirio25788-votailprof]

Lo immaginavo. Grazie